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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.若 $f (1) = e$ ，且 $f^{'} (x) + e^{x} < f (x)$ 在 $R$ 上恒成立，则不等式 $f (x) < (2 - x) e^{x}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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2、如图，平面四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B = 2 C D = 2 \sqrt{2}, A D = 1$ .若 $A, B$ 是椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 的两个公共焦点， $C, D$ 是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的两个交点，则 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的离心率之积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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3、已知 $\frac{C_{n - 1}^{5} + C_{n - 3}^{3}}{C_{n - 3}^{3}} = \frac{19}{5}$ ，则 $n$ 的值是（）

A、9 B、7 C、9或 $- 6$ D、8

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4、若 $C_{24}^{m} = C_{24}^{m + 2}$ ，则 $C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + \cdot \cdot \cdot + C_{m}^{2}$ 的值为（）

A、83 B、119 C、164 D、219

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5、设随机变量 $X$ 的概率分布列为：
X
1
2
3
4
P
$\frac{1}{3}$
m
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{6}$
则 $P (|X - 2| \leq 1) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{5}{12}$

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6、给定三棱锥 $Ω$ ，设 $Ω$ 的四个顶点到平面 $α$ 的距离所构成的集合为 $M$ ，若 $M$ 中元素的个数为 $k$ ，则称 $α$ 为 $Ω$ 的 $k$ 阶等距平面，称 $M$ 为 $Ω$ 的 $k$ 阶等距集.

(1)、若 $Ω$ 为三棱锥 $A - B C D$ ，满足 $A B = C D = A D = B C = 4$ ， $A C = B D = 2$ ，求出 $Ω$ 的1阶等距平面截该三棱锥所得到的截面面积（求出其中的一个即可）；

(2)、如图所示， $Ω$ 是棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体 $A B C D$ .

（ⅰ）若 $α$ 为 $Ω$ 的1阶等距平面且1阶等距集为 $\{a\}$ ，求 $a$ 的所有可能取值以及相对应的 $α$ 的个数；
（ⅱ）已知 $β$ 是 $Ω$ 的4阶等距平面，点 $A$ 与点 $B$ ， $C$ ， $D$ 分别位于 $β$ 两侧.是否存在 $β$ ，使 $Ω$ 的4阶等距集为 $\{b, 2 b, 3 b, 4 b\}$ ，其中点 $A$ 到 $β$ 的距离为 $b$ ？若存在，求出 $β$ 截 $Ω$ 所得的平面多边形的最大边长；若不存在，说明理由.

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7、如图， $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $A D ⊥ A C$ ， $∠ A C B = ∠ B A D$ .

(1)、已知 $\sin ∠ A C B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .
（ⅰ）求 $\frac{C D}{B D}$ 的值；
（ⅱ）若 $B D = \sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $\frac{b ^{2} + c ^{2}}{a ^{2}}$ 的最小值.

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8、如图1，在菱形 $A B C D$ 中， $△ A B D$ 是边长为2的等边三角形，将 $△ A B D$ 沿对角线 $B D$ 翻折至 $△ P B D$ 的位置，得到图2所示的三棱锥 $P - B C D$ .

(1)、证明： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、若二面角 $P - B D - C$ 的平面角为 $60 ^{\circ}$ ，求直线 $P B$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值.

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9、已知 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $b \cos C + c \cos B = 2 a \cos A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $\sin C = 2 \sin B$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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10、某学校组织“泉城知识答题竞赛”，满分100分，共有100人参赛，其成绩均落在区间 $[50, 100]$ 内，将成绩数据分成 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 5组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值并估计参赛学生成绩的 $70 %$ 分位数；

(2)、从成绩低于70分的学生中，用按比例分配的分层抽样抽取6人.从这6人中任选2人，求此2人分数都在 $[60, 70)$ 的概率.

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11、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $A A_{1} = 3$ ，且平面 $A D D_{1} A_{1}$ ， $A B B_{1} A_{1}$ 均与底面 $A B C D$ 垂直.点 $P$ 在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 上运动，若 $D_{1} P = \sqrt{7}$ ，则点 $P$ 的轨迹长为.

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12、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边，且 $a = 2$ ， $A = \frac{π}{6}$ ，则使得 $△ A B C$ 有两组解的 $b$ 的值可以是（写出满足条件的一个值即可）.

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13、甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，现两人各自独立射击一次，则至少一人中靶的概率为．

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14、如图所示，三棱锥 $A - B C D$ 中， $A C = 2$ ，其余棱长均为 $\sqrt{2}$ . $E$ 为棱 $A C$ 的中点，将三棱锥 $C - B E D$ 绕 $D B$ 旋转，使得点 $C$ ， $E$ 分别到达点 $C^{'}$ ， $E^{'}$ ，且 $C^{'} E^{'} / / A E$ .下列结论正确的是（）

A、 $A C^{'} / /$ 平面 $B E D$ B、 $E E^{'} ⊥ C^{'} D$ C、直线 $C^{'} B$ 与 $E E^{'}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、点， $E$ ， $B$ ， $D$ ， $C^{'}$ ， $E^{'}$ 在同一个直径为 $\sqrt{3}$ 的球面上

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15、已知有限集 $Ω$ 为随机试验 $E$ 的样本空间，事件 $A, B$ 为 $Ω$ 的子集，则事件 $A, B$ 相互独立的充分条件可以是（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $A = \emptyset$ C、 $P (\bar{A} \bar{B}) = P (\bar{A}) P (\bar{B})$ D、 $P (\bar{A} B) + P (A) P (B) = P (B)$

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16、已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z_{1} = 2 i$ ， $z_{2} = 1 + i$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\bar{z_{1} + z_{2}}$ 所对应的点在第一象限 B、 $z_{1} z_{2}$ 所对应的点在第二象限 C、 $z_{1}^{4} = |z_{1}| ^{4}$ D、 $z_{2}^{4} = |z_{2}| ^{4}$

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17、如图，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内夹角为 $θ (θ \neq \frac{π}{2})$ 的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向同向的单位向量.若向量 $\vec{O A} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则有序数对 $(x, y)$ 叫做点 $A$ 在坐标系 $O x y$ 中的坐标.在该坐标系下， $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $C (x_{3}, y_{3})$ 为不共线的三点，下列结论错误的是（）

A、线段 $A B$ 中点的坐标为 $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} ， \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$ B、 $△ A B C$ 重心的坐标为 $(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3} ， \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3})$ C、 $A$ ， $B$ 两点的距离为 $\sqrt{(x_{1} - x_{2}) ^{2} + (y_{1} - y_{2}) ^{2}}$ D、若 $x_{1} y_{2} = x_{2} y_{1}$ ，则 $O$ ， $A$ ， $B$ 三点共线

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18、某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（）

A、0.035 B、0.07 C、0.105 D、0.14

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19、已知两条不同的直线 $m$ ， $n$ 和两个不同的平面 $α$ ， $β$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $m // α$ ， $n \subset α$ ，则 $m // n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n // α$ C、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m // β$ ， $n // β$ ，则 $α // β$ D、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m$ 与 $n$ 平行或异面

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20、若正三棱台上底面边长为 $\sqrt{2}$ ，下底面边长为 $2 \sqrt{2}$ ，高为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则该棱台的体积为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、2 C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{3}$	m	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$