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相关试卷

1、若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为．

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2、已知直线 $l : x + y - 3 = 0$ ，点 $M (3, m)$ 到直线 $l$ 的距离等于 $\sqrt{2}$ ，则 $m =$

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3、已知i为虚数单位， $3 + i$ 是实系数一元二次方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个虚根，则 $p + q =$ .

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4、已知集合 $A = \{x| \frac{3}{x - 2} < - 1\}, B = \{x | 0 < x < 3, x \in N\}$ ，则 $A \cap B =$ .

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5、直线 $l$ 过点 $(1, 2)$ ，法向量为 $\vec{n} = (1, 2)$ ，则 $l$ 的一般式方程为.

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6、已知A为有限个实数构成的非空集合，设 $A + A = \{a_{i} + a_{j} |a_{i}, a_{j} \in A\}$ ， $A - A = \{a_{i} - a_{j} |a_{i}, a_{j} \in A\}$ ，记集合 $A + A$ 和 $A - A$ 其元素个数分别为 $|A + A|$ ， $|A - A|$ .设 $n (A) = |A + A| - |A - A|$ .例如当 $A = \{1, 2\}$ 时， $A + A = \{2, 3, 4\}$ ， $A - A = \{- 1, 0, 1\}$ ， $|A + A| = |A - A|$ ，所以 $n (A) = 0$ .

(1)、若 $A = \{1, 3, 5\}$ ，求 $n (A)$ 的值；

(2)、设A是由3个正实数组成的集合且 $(A + A) \cap A = \emptyset$ ， $A^{'} = A \cup \{0\}$ ；，证明： $n (A^{'}) - n (A)$ 为定值；

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意 $n \in N^{*}$ ，设 $A_{n} = \{a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}\}$ ， $b_{n} = n (A_{n})$ .已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且对任意 $n \in N^{*}$ ， $b_{n} \geq 0$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

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7、已知椭圆 $G : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，与x轴不重合的直线l经过左焦点 $F_{1}$ ，且与椭圆G相交于 $A 、 B$ 两点，弦 $A B$ 的中点为M，直线 $O M$ 与椭圆G相交于 $C 、 D$ 两点．

(1)、若直线l的斜率为1，求直线 $O M$ 的斜率；

(2)、是否存在直线l，使得 ${|A M|}^{2} = |C M| \cdot |D M|$ 成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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8、如图所示，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形， $A A_{1} = 3$ ，点D，E，F分别是所在棱的中点.
（1）在线段 $B B_{1}$ 上找一点 $G$ 使得平面 $G E F$ ∥平面 $D A_{1} C_{1}$ ，给出 $G$ 点的位置并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，求二面角 $E - F G - B_{1}$ 的余弦值.

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9、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x - \frac{1}{2} \cos 2 x$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、在 $△ A B C$ 中，三个角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $f (A) = 1$ ， $c = 2 a \cdot \cos B$ ， $b = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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10、如图，在三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $A C$ ， $A A_{1}$ 的中点，设三棱锥 $F - A D E$ 体积为 $V_{1}$ ，三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $V_{1} : V_{2} =$

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11、如图， $A (2, 0)$ ， $B (1, 1)$ ， $C (- 1, 1)$ ， $D (- 2, 0)$ ，弧CD是以OD为直径的圆上的一段圆弧，弧CB是以BC为直径的圆上的一段圆弧，弧BA是以OA为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线w，则下述正确的是（）

A、曲线w与x轴围成的图形的面积等于2π B、曲线w上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C、弧CB所在圆的方程为 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ D、弧CB与弧BA的公切线方程为 $x + y = \sqrt{2}$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x + 1, x < 0 \\ ln x, x > 0 \end{array}$ ，若存在 $x_{0} > 0$ ，使得 $f (- x_{0}) = - f (x_{0})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[- 1, 1]$

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13、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，过直线 $3 x + 4 y - 10 = 0$ 上的动点 $P$ 作圆 $O$ 的一条切线，切点为 $A$ ，则 $|P A|$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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14、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ∥ α, n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ∥ α, m ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $α ⊥ β, m ⊥ β, m ⊄ α$ ，则 $m$ // $α$ D、若 $α ⊥ β, m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$

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15、集合 $M = \{y | y = 2^{x}, x > 0\}$ ， $N = \{y | y = \log_{2} x\}$ ，那么“ $x \in M$ ”是“ $x \in N$ ”的（）．

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、已知集合 $P = \{x |x^{2} \leq 4\}, M = \{m\}$ ，若 $P \cap M = M$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2]$ B、 $[- 2, 2]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2]\cup[2, + \infty)$

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17、在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a^{2} (1 - \sin 2 B) + b^{2} (1 - \sin 2 A) = c^{2}$ .

(1)、求角C；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积S的取值范围.

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18、如图所示，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ . $E$ 、 $F$ 分别在线段 $B C$ 和 $A D$ 上， $A B / / E F$ ，将矩形 $A B E F$ 沿 $E F$ 折起.记折起后的矩形为 $M N E F$ ，且平面 $M N E F ⊥$ 平面 $E C D F$ .

(1)、求证： $N C / /$ 平面 $M F D$ ；

(2)、若 $E C = 3$ ，求证： $N D ⊥ F C$ ；

(3)、求四面体 $N F E C$ 体积的最大值

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19、在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（2） $X$ 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“ $X \geq 2$ ”的事件概率．

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20、2023年10月26日神舟十七号载人飞船在长征二号F遥十七运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道.我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式 $v = v_{0} \cdot ln \frac{M}{m}$ ，可以计算理想状态下火箭的最大速度 $v (m/s)$ ，其中 $v_{0} (m/s)$ 是喷流相对速度， $m (kg)$ 是火箭（除推进剂外）的质量， $M (kg)$ 是推进剂与火箭质量的总和， $\frac{M}{m}$ 称为总质比.已知甲型火箭喷流相对速度为 $2000 m/s$ .
（ⅰ）当总质比为9时，甲型火箭的最大速度为 $m/s$ ；
（ⅱ）若经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的喷流相对速度提高到原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，总质比变为原来的 $\frac{1}{2}$ .若要使火箭的最大速度至少增加 $1000 m/s$ ，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为.
（所有结果保留整数，参考数据： $\ln 3 \approx 1.1$ ， $2.718 < e < 2.719$ ）

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