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相关试卷

1、（多选）设O为坐标原点， $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，点 $P$ 为双曲线上一点，则（　　）

A、若 $|P F_{1}| = 3$ ，则 $|P F_{2}| = 1$ B、若 $△ P O F_{2}$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ C、若线段 $P F_{1}$ 的中点在y轴上，则 $|P F_{2}| = 3$ D、 $△ F_{1} P F_{2}$ 内切圆的圆心到 $y$ 轴的距离为1

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2、（多选）如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是线段 $A_{1} D$ 上的动点，则（）

A、 $△ P B C_{1}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、三棱锥 $B_{1} - P B C_{1}$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ C、存在点P，使得 $B P$ ⊥ $P C_{1}$ D、存在点P，使得 $A_{1} D$ ⊥平面 $P B C_{1}$

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3、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ ，若函数 $f (x)$ 图象的相邻两个对称中心之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ， $x = - \frac{π}{6}$ 为函数 $y = f (x)$ 图象的一条对称轴，则（　　）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = - \frac{π}{6}$ C、点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的对称中心 D、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后所得函数的图象关于 $y$ 轴对称

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4、已知 $a e^{a} = π$ ， $b ln b = π$ ， $c = \sqrt{π}$ ，则（　　）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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5、定义在R上的奇函数 $f (x)$ ，满足 $f (x + 3) = f (1 - x)$ ， $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = m e^{x} - 1$ ，则 $f (31) =$ （　　）

A、 $e + 1$ B、 $e - 1$ C、 $1 - e$ D、 $- e$

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6、已知直线 $a x - y + 2 = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 相交于A，B两点，若 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $a =$ （　　）

A、 $\frac{4}{3}$ B、1 C、 $- \frac{3}{4}$ D、﹣2

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7、已知点O为 $△ A B C$ 的重心， $\vec{A C} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ，则 $λ + μ =$ （　　）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、1 D、6

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8、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $∠ A = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的半径为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2} 1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$

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9、已知曲线 $y = x^{2} - 3 ln x$ 的一条切线方程为 $y = - x + m$ ，则实数 $m =$ （　　）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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10、抛物线 $x^{2} = - 4 y$ 的焦点坐标为（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, - 1)$

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11、已知全集 $U = R$ ， $∁_{U} A = \{x | x < 1\}$ ， $B = \{x | x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 $\{x | x \geq 1\}$ B、 $\{x | x > 3\}$ C、 $\{x | 1 < x \leq 3\}$ D、 $\{x | 1 \leq x \leq 3\}$

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12、已知函数 $f (x) = \frac{3 - 2 x}{x^{2} + a}$ ．
（1）若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极值，求 $f (x)$ 的单调区间，以及其最大值与最小值．

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13、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $x f^{'} (x) - f (x) < 0$ ，且 $f (2) = 2$ ，则 $f (e^{x}) - e^{x} > 0$ 的解集是．

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14、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} < S_{8} < S_{9}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{1} > d$ B、使得 $S_{n} > 0$ 成立的最大正整数 $n = 18$ C、 $|a_{8} + a_{9}| < |a_{10} + a_{11}|$ D、 $\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\}$ 中最小项为 $\frac{S_{10}}{a_{10}}$

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15、若函数 $y = f (x)$ 的导函数在区间 $[a, b]$ 上是增函数，则函数 $y = f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的图象可能是

A、 B、 C、 D、

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16、函数 $f (x) = - x^{2} + a x + 1 - \ln x$ ，若 $f (x)$ 在 $(0, \frac{1}{2})$ 是减函数，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(- \infty, 3]$ D、 $(- \infty, 3)$

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{3} + \dots + \frac{a_{n}}{n} = 2 n (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n + 1}}$ .
①求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；
②若不等式 ${(- 1)}^{n} λ < T_{n} + \frac{n}{2^{n}}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = x^{2} + ln x - a x + a$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq x (ln x + 1)$ 对任意的 $x \geq 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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19、已知集合 $A = \{x |a \leq 2^{x - 1} \leq 4\}$ ，集合 $B = \{x |\log_{3} (2 x + 1) < 2\}$ ．

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ ，求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、已知“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求a的取值范围．

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20、随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用 $f (x) = \frac{1}{1 + e^{- x}}$ 作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输 $x$ 的 $x$ 满足 $|f (x + 1) - f (x)| < a$ 则提示“可能出现梯度消失”，满足 $|\frac{f (x + 1)}{f (x)}| > b$ 则提示“可能出现梯度爆炸”，其中 $a$ 表示梯度消失阈值， $b$ 表示梯度爆炸间值.给出下列四个结论：
① $f (x)$ 是 $R$ 上的增函数；
②当 $b = e$ 时， $\exists x \in R$ ，输入 $x$ 会提示“可能出现梯度爆炸”；
③当 $a = e^{- 5}$ 时， $\forall x \geq 5$ ，输入 $x$ 会提示“可能出现梯度消失”；
④ $\forall a > 0, \exists x \in R$ ，输入 $x$ 会提示“可能出现梯度消失”.
其中所有正确结论的序号是.

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