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相关试卷

1、已知随机变量 $X ~ N (9, σ^{2})$ ，且 $P (7 < X < 11) = 0.6$ ， $P (X > 12) = 0.1$ ，则 $P (6 < X < 7) =$ （）

A、0.1 B、0.2 C、0.3 D、0.4

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2、已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}$ ， $B = {x | \log_{2} (x + 1) < 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(- 3, 3)$ C、 $[- 1, 3)$ D、 $[- 1, 3]$

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3、设各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{2} = 5$ ， $a_{n}^{2} = 6 S_{n} - 9 n + 1$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{6}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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4、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (2, 1) ， \overset{⃑}{b} = (- 2, 4)$ ，则 $|\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5、已知函数 $f (x) = x^{2} \ln \frac{x + 1}{x + a}$ 为奇函数，则 $a$ 的值为 .

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6、设集合 $A = {x | - 2 \leq x < 1}, B = {- 2, 0, 1, 2},$ 则 $A \cap B =$ ( )

A、 ${- 2, 0, 1}$ B、 ${- 2, - 1, 0}$ C、 ${- 2, 0}$ D、 ${2, 0, 1}$

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7、给定两组数据 $A = (x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n})$ 与 $B = (y_{1}, y_{2}, \cdot \cdot \cdot, y_{n})$ ，称 $X (A, B) = \sum_{i = 1}^{n} |x_{i} - y_{i}|$ 为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为 $I = (1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从高到低依次进行重新排序为 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ ，其中 $x_{i}$ 为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记 $A = (x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n})$ ，那么A与I的差异量 $X (A, I) = \sum_{i = 1}^{n} |x_{i} - i|$ 可以有效反映一个专家的水平，该差异量 $X (A, I)$ 越小说明专家的鉴宝能力越强．

(1)、当 $n = 3$ 时，求 $X (A, I)$ 的所有可能取值；

(2)、当 $n = 5$ 时，求 $X (A, I) = 4$ 的概率；

(3)、现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为a，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为 $a + 6$ ？请说明理由．

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8、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，过 $△ A B C$ 内一点M的直线l与直线AB交于D，记 $\vec{B A}$ 与 $\vec{D M}$ 夹角为 $θ$ .

(1)、已知 $c - a \cos B = b \sin A$ ，
（i）求角A﹔
（ii）M为 $△ A B C$ 的重心， $b = c = 1, θ = 30 °$ ，求 $|\vec{A D}|$ ；

(2)、请用向量方法探究 $θ$ 与 $△ A B C$ 的边和角之间的等量关系.

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9、如图， $△ A B C$ 绕边BC旋转得到 $△ D B C$ ，其中 $A C = B C = 2$ ， $A C ⊥ B C, A E ⊥$ 平面ABC， $D E$ ∥ $A C$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面ACD；

(2)、若二面角 $B - D E - C$ 的平面角为 $60 °$ ，求锐二面角 $D - C B - A$ 平面角的正弦值．

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10、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是单位向量，满足 $|\vec{a} - 2 \vec{b}| = \sqrt{7}$ ，记 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为 $θ$ ．

(1)、求 $θ$ ；

(2)、若平面向量 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\vec{a}, \vec{b} \cdot \vec{c} = 1$ ，求 $|\vec{c}|$ ．

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11、已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为2．

(1)、求该圆台的体积；

(2)、求该圆台母线与下底面所成角的余弦值．

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12、与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD满足 $A B = B C = C D = D A = 6$ ， $B D = 8$ ，且四面体ABCD有棱切球，则AC的长为．

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13、设样本空间 $Ω = \{1, 2, 3, 4\}$ 含有等可能的样本点， $A_{1} = \{1, 2\}, A_{2} = \{1, 3\}, A_{3} = \{1, 4\}$ ，则 $\frac{P (A_{1} A_{2} A_{3})}{P (A_{1}) P (A_{2}) P (A_{3})} =$ ．

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14、已知 $2 i - 3$ 是关于x的实系数方程 $2 x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，则实数p的值为．

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15、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为1，E，F分别为棱 $B_{1} C_{1}$ ， AD（含端点）上的动点，记过C，E，F三点的平面为 $α$ ，记 $d_{1}$ 为点B到平面 $α$ 的距离， $d_{2}$ 为点 $D_{1}$ 到平面 $α$ 的距离，则满足条件（）的 $α$ 是不唯一的．

A、 $d_{1} + d_{2} = \sqrt{2}$ B、 $d_{1} + d_{2} = \sqrt{3}$ C、 $d_{1} - d_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $2 d_{1} + d_{2} = \sqrt{6}$

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16、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{c}| = \vec{a} \cdot \vec{b} = 2, |\vec{a} - λ \vec{b}| \geq |\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}|$ 对任意实数 $λ$ 恒成立．若对每一个确定的 $\vec{c}$ ，对任意实数m，n， $|\vec{c} - m \vec{a}| + |\vec{c} - n \vec{b}|$ 有最小值t．当 $\vec{c}$ 变化时，t的值域为 $[x, y]$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 + 2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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17、已知样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{9}$ 的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据 $x_{10}$ ，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（）

A、18.2 B、19.6 C、19.8 D、21.7

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18、在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且 $\sqrt{3} (a^{2} + c^{2} - b^{2}) = 4 S$ ，若 $c = 1$ ，则 $△ A B C$ 面积的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{8}, + \infty)$

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19、数据：1，1，2，3，3，5，5，7，7，x的 $40 %$ 分位数为2.5，则x可以是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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20、如图，某校数学兴趣小组对古塔AB进行测量，AB与地面垂直，从地面C点看塔顶A的仰角 $β$ 为 $60 °$ ，沿直线BC前行20米到点D此时看塔顶A的仰角 $α$ 为 $30 °$ ，根据以上数据可得古塔AB的高为（）米.

A、 $10 \sqrt{3}$ B、20 C、10 D、 $10 \sqrt{2}$

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