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相关试卷

1、如图在几何体 $A B C D F E$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 60 °, A E ∥ D F, A E ⊥ A D, A B = A E = 2 D F = 2$ .

(1)、判断 $A D$ 是否平行于平面 $C E F$ ，并证明；

(2)、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（i）平面 $A B C D$ 与平面 $C E F$ 所成角的大小；
（ii）求点 $A$ 到平面 $C E F$ 的距离.
条件①：面 $E A B ⊥$ 面 $A B C D$
条件②： $B D ⊥ C E$
条件③： $E F = C F$
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

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2、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点， $P$ 是 $C$ 上一点．过点 $F_{1}$ 作直线 $P F_{1}$ 的垂线 $l_{1}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线 $P F_{2}$ 的垂线 $l_{2}$ ．若 $l_{1}, l_{2}$ 的交点 $Q$ 在 $C$ 上（ $P, Q$ 均在 $x$ 轴上方 $)$ ，且 $|P Q| = \frac{8 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $C$ 的离心率为．

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3、已知动点P，Q分别在圆 $M : {(x - \ln m)}^{2} + {(y - m)}^{2} = \frac{1}{4}$ 和曲线 $y = \ln x$ 上，则 $|P Q|$ 的最小值为．

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4、已知函数 $f (x) = x - a sin x$ 在 $R$ 上不是单调函数，且其图象完全位于直线 $x - y - 3 = 0$ 与 $x - y + 4 = 0$ 之间（不含边界），则 $a$ 的一个取值为.

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5、盒中有编号为1，2，3，4的四个红球和编号为1，2，3，4的四个白球，从盒中不放回的依次取球，每次取一个球，用事件 $A_{k}$ 表示“第 $k$ 次首次取出红球”，用事件 $B_{k}$ 表示“第 $(k + 1)$ 次取出编号为1的红球”，用事件 $C_{k}$ 表示“第 $(k + 1)$ 次取出编号为1的白球”，则（）

A、 $P (B_{1} ∣ A_{1}) < P (C_{1} ∣ A_{1})$ B、 $P (B_{2} ∣ A_{2}) = P (C_{2} ∣ A_{2})$ C、 $P (B_{3} ∣ A_{3}) > P (C_{3} ∣ A_{3})$ D、 $P (B_{4} ∣ A_{4}) < P (C_{4} ∣ A_{4})$

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6、关于函数 $f (x) = \sin |x| + | \sin x |$ 有下述四个结论，其中结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2},π)$ 单调递增 C、 $f (x)$ 在 $[- π, π]$ 有4个零点 D、 $f (x)$ 的最大值为2

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7、分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它研究的几何对象具有自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变，具有很多美妙的性质.其中科赫（Koch）曲线是几何中最简单的分形.科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线，……在分形几何中，若一个图形由 $N$ 个与它的上一级图形相似，且相似比为 $r$ 的部分组成，则称 $D = |{log}_{r} N|$ 为该图形分形维数.那么科赫曲线的分形维数是（）

A、 ${log}_{2} 3$ B、 $\log_{3} 2$ C、1 D、 $2 {log}_{3} 2$

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8、已知三个单位向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$ ，则向量 $\vec{b}, \vec{c}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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9、已知 $α ， β$ 是两个平面， $m$ ， $n$ 是两条直线，则下列命题错误的是（）

A、如果 $α$ $/ / β$ ， $n \subset α$ ，那么 $n$ $/ / β$ B、如果 $m ⊥ α$ ， $n$ $/ / α$ ，那么 $m ⊥ n$ C、如果 $m$ $/ / n$ ， $m ⊥ α$ ，那么 $n ⊥ α$ D、如果 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n$ $/ / β$ ，那么 $α ⊥ β$

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10、已知 $z$ 为复数，则“ $z = \bar{z}$ ”是“ $z^{2} = {\bar{z}}^{2}$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件

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11、已知集合 $M = \{x |x = k + \frac{1}{2}, k \in Z\}, N = \{x |x = \frac{k}{2} + 1, k \in Z\}$ ，则（）

A、 $M \subseteq N$ B、 $N \subseteq M$ C、 $M = N$ D、 $M \cap N = \emptyset$

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2$ .

(1)、若 $B C = 5$ ， $M$ 、 $N$ 分别为 $A C$ 、 $B C$ 的中点，设 $A N$ 、 $B M$ 交于点 $P$ ，求 $∠ M P N$ 的余弦值；

(2)、若点 $M$ 满足 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ， $\vec{B M} \cdot \vec{A C} = \frac{4}{3}$ ， $O$ 为 $B M$ 中点，点 $N$ 在线段 $B C$ 上移动（包括端点），求 $\vec{O A} \cdot \vec{O N}$ 的最小值.

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13、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a = b (\sqrt{3} \sin C + \cos C)$ ．

(1)、求B；

(2)、已知 $B C = 2 \sqrt{3}$ ， D为边 $A B$ 上的一点，若 $B D = 1$ ， $∠ A C D = \frac{π}{2}$ ，求 $A C$ 的长．

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14、已知非零向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 不共线．

(1)、如果 $\vec{A B} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{B C} = 2 \vec{e_{1}} + 8 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = 3 (\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}})$ ，求证： $A$ ， $B$ ， $D$ 三点共线；

(2)、欲使 $k \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ 共线，试确定实数 $k$ 的值．

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15、已知平面内三个向量 $\vec{a} = (3, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ， $\vec{c} = (4, 1)$ ，若 $(\vec{a} + k \vec{c}) / / 2 \vec{b} - \vec{a}$ ，则k=.

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16、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中A， $ω$ ， $φ$ 是常数， $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为π C、 $φ = \frac{π}{6}$ D、将函数f（x）的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x) = \sqrt{2} \cos 2 x$ 的图象

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17、已知 $|\overset{⃑}{a}| = |\overset{⃑}{b}| = 2$ ， $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = 2$ ， $(2 \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{c}) \cdot (\overset{⃑}{b} - \overset{⃑}{c}) = 0$ ，则 $|\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{c}|$ 的最大值为（）

A、 $1 + \sqrt{3}$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、2 D、4

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18、在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为边 $B C$ 的中点，记 $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{D B} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$

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19、设 $\vec{e}$ 是单位向量， $\vec{A B} = \vec{e}$ ， $\vec{C D} = - \vec{e}$ ， $|\vec{A D}| = 1$ ，则四边形 $A B C D$ 是（）

A、梯形 B、菱形 C、矩形 D、正方形

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20、对于平面向量 $\vec{a_{k}} = (x_{k}, y_{k}) (x_{k}, y_{k} \in N, k = 0, 1, 2, \dots)$ ，定义“ $F$ 变换”： $\vec{a_{k + 1}} = F (\vec{a_{k}})$ ，其中 $x_{k + 1} = |x_{k} - y_{k}|, y_{k + 1} = |max \{x_{k}, y_{k}\} - 2 min \{x_{k}, y_{k}\}|, max \{x_{k}, y_{k}\}$ 表示 $x_{k}, y_{k}$ 中较大的一个数， $min \{x_{k}, y_{k}\}$ 表示 $x_{k}, y_{k}$ 中较小的一个数.若 $x_{k} = y_{k}$ ，则 $max \{x_{k}, y_{k}\} = min \{x_{k}, y_{k}\} = x_{k} = y_{k}$ .记 $⟨\vec{a_{k}}⟩ = x_{k} y_{k}, ||\vec{a_{k}}|| = x_{k} + y_{k}$ .

(1)、若 $\vec{a_{0}} = (1, 9)$ ，求 $⟨\vec{a_{2}}⟩$ 及 $||\vec{a_{2}}||$ ；

(2)、已知 $⟨\vec{a_{1}}⟩ = 2024, ||\vec{a_{1}}|| = 2025$ ，将 ${\vec{a}}_{1}$ 经过 $m$ 次 $F$ 变换后， $||\vec{a_{m + 1}}||$ 最小，求 $m$ 的最小值；

(3)、证明：对任意 $\vec{a_{0}}$ ，经过若干次 $F$ 变换后，必存在 $k \in N_{+}$ ，使得 $⟨\vec{a_{k}}⟩ = 0$ .

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