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相关试卷

1、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别是棱 $B B_{1}$ ， $D D_{1}$ 上的动点，且 $A E ⊥ A_{1} B$ ， $A F ⊥ A_{1} D$ ，

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(2)、若 $A B = 1$ ， $A D = 2$ ．
①求平面 $A E F$ 与平面 $C B_{1} D_{1}$ 夹角的余弦值的最大值；
②若平面 $A E F$ 截长方体的截面为五边形，求平面 $A E F$ 与平面 $C B_{1} D_{1}$ 夹角的余弦值的范围．

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2、如图， $P A$ 是圆柱的母线， $A C$ 是底面圆的直径，点B，D在底面圆周上（异于A，C），平面 $P A D$ ⊥平面 $P A B$ ．

(1)、证明： $A D //$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P A = A C = 2, B C = 1$ ，求点 $D$ 到平面 $P B C$ 的距离．

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3、已知n满足 $C_{n + 1}^{2} - C_{n}^{n - 1} = 28$ ，在 ${(x + \frac{2}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，求：

(1)、二项式系数最大的项：

(2)、所有有理项的系数和．

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4、我国南北朝时期伟大的数学家、天文学家祖暅，首次发现“幂势既同，则积不容异”的结论，被称为“祖暅原理”，并用其推导出球的体积公式（示意如图），比西方早一千一百多年，显示出我国古代在数学研究上的辉煌成就．半球台的定义：用一个平行于半球大圆面的平面去截半球，截面圆和大圆面之间的部分叫半球台，大圆面叫下底面，截面叫上底面，则一个下底面半径为5，上底面半径为4的半球台的体积为．

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5、在 $1 + (1 + x) + {(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{9}$ 的展开式中，x的奇次项的系数和为．

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6、设随机变量 $X ~ H (10, 30, 100)$ ，则X的均值为 $E (X) =$ ．

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7、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，各棱长均为6． $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $A C_{1} = 6 \sqrt{3}$ B、四边形 $A_{1} B C D_{1}$ 为正方形 C、 $A A_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、四边形 $C C_{1} D_{1} D$ 内存在点P，使得直线 $A P$ 与 $B D_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{6}$

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8、已知事件 $X, Y$ 满足 $P (X) = 0.4, P (Y) = 0.5$ ，则下列判断可能正确的是（）

A、 $X, Y$ 独立 B、 $X, Y$ 对立 C、 $P (\bar{X} Y) = P (\bar{X + Y})$ D、 $P (X | Y) = 0.9$

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9、从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为100的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示，则下列估计结论正确的有（）

A、成绩的众数为75 B、成绩的上四分位数为84 C、成绩的极差为60 D、已知落在 $[50, 60)$ 的平均成绩是54，方差是2：落在 $[60, 70)$ 的平均成绩为66，方差是5，则两组成绩的总标准差为6

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10、已知正四棱锥的侧棱长为4，其顶点均在同一个球面上，若球的表面积为 $64 π$ ，则该正四棱锥的体积为（）

A、16 B、24 C、32 D、36

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11、某位同学用一根直径3cm，长度30cm，粗细均匀的圆木棒做接力棒，先按长度将其划分成每段为10cm的三个区域，再将每个区域漆上一种颜色，要求相邻区域的颜色不能相同，现有红、黄、蓝三种颜色的油漆可以选取，则漆出的外观有（）种可能．

A、18 B、15 C、12 D、9

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12、在 $n$ 重伯努利试验中，每次试验发生的概率均为 $p$ ，且2次试验中恰好发生1次的概率为 $\frac{4}{9}$ ，若随机变量 $X ~ B (6, p)$ ，则 $X$ 的方差为 $D (X) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、1 D、2

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13、如果随机变量 $X ~ N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 6) = 0.8$ ，那么 $P (X \leq 0)$ 的值为（）

A、0.2 B、0.3 C、0.4 D、0.8

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14、已知 $m, n$ 为两条不同直线， $α, β, γ$ 为三个不同平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $m // α$ ， $n \subset α$ ，则 $m // n$ B、若 $m // α$ ， $α // β$ ，则 $m // β$ C、若 $m // α$ ， $m // β$ ，则 $α // β$ D、若 $α // β$ ， $β // γ$ ，则 $α // γ$

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15、对于变量 $x, y$ 有观测数据 $(x_{i}, y_{i}) (i \in N^{*})$ ，得散点图1；对于变量 $u, v$ 有观测数据 $(u_{i}, v_{i}) (i \in N^{*})$ ，得散点图2． $r_{1}$ 表示变量 $x, y$ 之间的线性相关系数， $r_{2}$ 表示变量 $u, v$ 之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（）

A、 $r_{1} < r_{1} + r_{2} < 0$ B、 $r_{2} < r_{1} + r_{2} < 0$ C、 $0 < r_{1} + r_{2} < r_{1}$ D、 $0 < r_{1} + r_{2} < r_{2}$

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16、用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个样本容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人．已知该校高二年级共有学生300人，则不同的抽样结果共有（）种．

A、 $C_{400}^{20} \cdot C_{300}^{15} \cdot C_{200}^{10}$ B、 $C_{400}^{10} \cdot C_{300}^{15} \cdot C_{200}^{20}$ C、 $A_{400}^{20} \cdot A_{300}^{15} \cdot A_{200}^{10}$ D、 $A_{400}^{10} \cdot A_{300}^{15} \cdot A_{200}^{20}$

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17、已知集合 $A = \{x | x^{2} - x - 12 < 0\}$ ， $B = \{x | 2 a - 1 < x \leq a + 7\}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cup B$ ， $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.

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18、某商场搞促销活动，促销活动期间，若顾客一次性购物总金额不超过200元，则不享受任何优惠；若顾客一次性购物总金额超过200元，但不超过500元，则超过部分优惠 $10 %$ ；若顾客一次性购物总金额超过500元，则在享受上一档优惠（超过200元但不超过500元的部分）的同时，超过500元的部分优惠 $20 %$ .某人在该商场促销期间一次性购物享受了60元的优惠，则此人这次在该商场购物实际所付金额为元.

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19、已知 $x^{3} - y^{3} < 2^{- x} - 2^{- y}$ ，则（）

A、 $ln (y - x + 1) > 0$ B、 $x^{3} < y^{3}$ C、 $ln |x - y + 1| > 0$ D、 $2^{x - y} < 1$

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20、在某个时期，某湖泊中的蓝藻总量为 $a$ 千克，且该湖泊中的蓝藻每天以 $8 %$ 的增长率呈指数增长，经过 $n$ 天后，该湖泊中的蓝藻总量不少于 $3 a$ 千克，则 $n$ 的最小值是（）（参考数据： $lg 2 \approx 0.301, lg 3 \approx 0.477$ ）

A、14 B、15 C、16 D、17

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