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相关试卷

1、灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为 $V = \frac{π}{3} (3 R - h) h^{2}$ ，其中 $R$ 是球的半径， $h$ 是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取 $π = 3$ ）（）

A、 $32000$ cm³ B、33664 cm³ C、33792 cm³ D、35456 cm³

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2、在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ B = 30 ^{\circ}$ ， $c = 2$ ，则“ $b = \sqrt{2}$ ”是“ $∠ C = 45^{\circ}$ ”成立的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、既不充分也不必要

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3、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3 |\vec{b}|$ ，且向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{6} \vec{a}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $120 °$

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4、党的十八大以来，我国把绿色发展理念融入城乡规划建设管理之中，合理布局城市的生产空间、生活空间、生态空间，持续推进城市园林绿化工作．为践行生态文明的理念，某学校全体师生于3月12日开展植树活动，购买了樟树、银杏、桂花、梧桐四种树苗共计800棵，比例如图所示，高一年级师生、高二年级师生、高三年级师生参加植树活动的人数之比为 $4 : 3 : 3$ ，若每种树苗均按各年级师生参加植树人数的比例进行分配，则高二年级师生应分得桂花树苗的数量为（）

A、30棵 B、50棵 C、72棵 D、80棵

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5、将水平放置的 $△ A B C$ 用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知 $A^{'} C^{'} = 3$ ， $B^{'} C^{'} = 2$ ，则边 $A B$ 的实际长度为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、6 C、5 D、 $\sqrt{40}$

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6、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 为共线向量，且 $\vec{a} = (1, x), \vec{b} = (- 2, 6)$ ，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、 $- 3$ B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、 $3 \sqrt{10}$

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7、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a > 0$ ，讨论 $f (x)$ 的零点个数.

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8、如图，抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 上异于坐标原点 $O$ 的两不同动点 $A$ 、 $B$ 满足 $O A ⊥ O B$ .

(1)、求证：直线 $A B$ 过定点；

(2)、过点 $A$ ， $B$ 分别作抛物线 $C$ 的切线交于点 $M$ ，求 $△ M A B$ 的面积的最小值.

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9、甲、乙两个工厂加工一批同一型号的零件，甲工厂加工的次品率为 $6 %$ ，乙工厂加工的次品率为 $5 %$ ，现将加工出来的零件混放在一起，其次品率为 $5.25 %$ ；

(1)、求混放在一起的零件中来自甲工厂的零件个数的占比；

(2)、从混放在一起的零件中有放回地抽5个作为样本，记样本中来自甲工厂的零件个数为 $X$ .
（i）求 $X$ 的分布列和数学期望：
（ii）若用样本中来自甲工厂的零件个数的占比，估计总体中来自甲工厂的零件个数的占比，求误差的绝对值不超过0.1的概率.

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10、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求 $d_{n}$ 及其最小值.

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11、在三棱锥 $A - B C D$ 中，且 $A B = B C = B D = 1$ ， $A D = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ， $∠ C B A = ∠ D B C = 120 °$ .

(1)、求证：平面 $A B C ⊥$ 平面BCD.

(2)、求二面角 $A - B D - C$ 的余弦值.

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12、已知 $a < 5$ 且 $a e^{5} = 5 e^{a}$ ，则函数 $y = a^{|x - 1|}$ 的单调增区间为.

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ，且 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ，则 $\frac{\frac{1}{a_{n + 1}} - 1}{\frac{1}{a_{n}} - 1} =$ ；满足 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} < 2024$ 的最大整数 $n$ 的值为.

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14、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，长轴长为4，点 $P (\sqrt{2}, 1)$ 在椭圆 $C$ 外，点 $Q$ 在椭圆 $C$ 上，则（）

A、 $b$ 的取值范围是 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、当椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时， $|Q F_{1}|$ 的取值范围是 $[2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}]$ C、存在点 $Q$ 使得 $\vec{Q F_{1}} \cdot \vec{Q F_{2}} = 0$ D、 $\frac{1}{|Q F_{1}|} + \frac{1}{|Q F_{2}|}$ 的最小值为1

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15、函数 $f (x) = - cos (2 x + \frac{π}{2})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $\frac{1}{2}$ C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{6}]$ 上单调递增 D、直线 $x = π$ 为 $f (x)$ 图象的对称轴

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16、设正整数 $n = a_{0} \cdot 2^{0} + a_{1} \cdot 2 + \cdot \cdot \cdot + a_{k - 1} \cdot 2^{k - 1} + a_{k} \cdot 2^{k}$ ，其中 $a_{i} \in \{0, 1\}$ ，记 $ω (n) = a_{0} + a_{1} + \cdot \cdot \cdot + a_{k}$ .则下列结论错误的是（）

A、 $ω (2 n) = ω (n)$ B、 $ω (2 n + 3) = ω (n) + 1$ C、 $ω (8 n + 5) = ω (4 n + 3)$ D、 $ω (2^{n} - 1) = n$

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17、已知圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ ，直线 $l : y = k x - 2$ ，若直线 $l$ 上存在点 $P$ ，过点 $P$ 引圆的两条切线 $l_{1}, l_{2}$ ，使得 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 2 - \sqrt{3}) \cup (2 + \sqrt{3}, + \infty)$ B、[ $2 - \sqrt{3}$ ， $2 + \sqrt{3}$ ] C、 $(- \infty, 0)$ D、 $[0 ， + \infty$ ）

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18、已知过点 $P (1, 2)$ 可作双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的两条切线，若两个切点分别在双曲线 $C$ 的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（）

A、 $(\sqrt{5}, + \infty)$ B、 $(1, \sqrt{5})$ C、 $(1, \sqrt{3})$ D、 $(\sqrt{3}, + \infty)$

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19、通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ 计算得： $χ^{2} \approx 7.822$ ，参照附表，则下列结论正确的是（）
附：
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

A、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D、在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关

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20、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $b = 40$ ， $c = 20$ ， $C = 60^{\circ}$ ，则此三角形的解的情况是（）

A、有一解 B、有两解 C、无解 D、有解但解的个数不确定

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α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828