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相关试卷

1、对于集合 $A$ ，定义 $g_{A} (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \notin A \\ - 1, x \in A \end{array}$ .对于两个集合 $A$ 、 $B$ ，定义运算 $A * B = \{x |g_{A} (x) \cdot g_{B} (x) = - 1\}$ ．
（1）若 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{2, 3, 4, 5\}$ ，写出 $g_{A} (1)$ 与 $g_{B} (1)$ 的值，并求出 $A * B$ ；
（2）证明： $g_{A * B} (x) = g_{A} (x) \cdot g_{B} (x)$ ；

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2、如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点 $.$ 已知 $A B = 4$ 米， $A D = 3$ 米，设AN的长为 $x (x > 3)$ 米 $.$

(1)、要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？

(2)、求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；

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3、已知函数 $y = (k −1) x^{2} + (k −3) x +1$

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $(k −1) x^{2} + (k −3) x +1≥0$ 的解集为全体实数 $R$ ，求实数 $k$ 的取值范围

(2)、若关于 $x$ 的方程 $(k −1) x^{2} + (k −3) x +1=0$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} <2$ ， $x_{2} <2$ ，求实数 $k$ 的取值范围

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4、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 5 x - 6 < 0\}$ ， $B = \{x |m + 1 \leq x \leq 2 m - 1, m \in R\}$ .
（1）若 $m = 4$ ，求集合 $∁_{R} A$ ，集合 $A \cup ∁_{R} B$ ；
（2）若 $A \cup B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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5、当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合 $A = \{- 1, \frac{1}{2}, 1\}$ ， $B = \{x | x^{2} = a\}$ .若 $A$ 与 $B$ 构成“全食”，则 $a$ 的取值范围是；若 $A$ 与 $B$ 构成“偏食”，则 $a$ 的取值范围是.

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6、已知命题 $p$ ： $a \leq x \leq a + 1$ ，命题 $q$ ： $x^{2} - 4 x < 0$ ，若 $p$ 是 $q$ 成立的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是.

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7、已知 $x \geq 0$ ， $y \geq 0$ ， $x + 2 y = 1$ ，则 $x y$ 的最大值是．

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8、集合 $A = {x | x \geq 1}$ ， $B = {x | x \leq a}$ ， $A \cup B = R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

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9、已知方程 $x^{2} - 4 x + a = 0$ 的两根都大于1，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $3 < a \leq 4$ B、 $1 < a \leq 4$ C、 $a > 1$ D、 $a \leq 4$

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10、若集合 $A = \{x | x^{2} −5 x +6<0\}$ ， $B = \{x | x^{2} −4 a x +3 a^{2} <0\}$ ，且 $A ⊆ B$ ，则实数a的取值范围是（　　）

A、 $1< a <2$ B、 $1≤ a ≤2$ C、 $1< a <3$ D、 $1≤ a ≤3$

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11、对于实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 下列命题中的真命题是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ D、若 $a > b$ ， $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a > 0$ ， $b < 0$

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12、已知函数 $y =2 x^{2} +2 x +1$ ，则当 $−1≤ x ≤1$ 时，y的最大值和最小值分别是（　　）

A、5， $\frac{1}{2}$ B、5，1 C、5， $\frac{1}{4}$ D、1， $\frac{1}{2}$

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13、若集合 $X = \{x | x < 1\}$ ，下列关系式中成立的是（）

A、 $0 \subseteq X$ B、 $\{0\} \subseteq X$ C、 $\emptyset \in X$ D、 $\{0\} \in X$

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14、命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $1 < f (x_{0}) ⩽ 2$ ”的否定形式是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $1 < f (x) ⩽ 2$ B、 $\exists x_{0} \notin R$ ， $1 < f (x_{0}) ⩽ 2$ C、 $\forall x \in R$ ， $f (x) ⩽ 1$ 或 $f (x) > 2$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $f (x_{0}) ⩽ 1$ 或 $f (x_{0}) > 2$

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15、已知 $S_{n}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 ${(1 - 2 x)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2025} x^{2025}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的首项 $b_{1} = \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \dots + \frac{a_{2025}}{2^{2025}}$ ， $b_{n + 1} \cdot b_{n} = 2^{n} (n \in N^{*})$ ，则 $S_{2024} =$ （）

A、 $3 - 3 \cdot 2^{1012}$ B、 $- 2 - 3 \cdot 2^{1012}$ C、 $- 3 - 2^{1014}$ D、 $3 - 2^{1014}$

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16、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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17、函数 $f (x) = x^{3} - x cos x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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18、已知集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\} (0 \leq a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}, n \in N^{*}, n \geq 3)$ 具有性质 $P$ ：对任意 $i, j (1 \leq i \leq j \leq m)$ ， $a_{i} + a_{j}$ 与 $a_{j} - a_{i}$ 至少一个属于 $A$ .

(1)、分别判断集合 $C = \{0, 2, 4\}$ 与 $D = \{1, 2, 3\}$ 是否具有性质P，并说明理由；

(2)、 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}\}$ 具有性质P，当 $a_{2} = 2023$ 时，求：集合A；

(3)、当 $n = 2025$ 时，请直接写出 $f (n) = \frac{a_{n}}{a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}}$ 的值.

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19、在① $A = \{x | \frac{1}{x} > 1\}$ ， ② $A = {x | x > 1}$ 这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题.
设集合________，集合 $B = \{x | x^{2} - 2 x + 1 - a^{2} = 0\}$ ；

(1)、若集合B的子集有2个，求实数a的取值范围；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数a的取值范围.

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20、汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间 $t_{0}$ 、人的反应时间 $t_{1}$ 、系统反应时间 $t_{2}$ 、制动时间 $t_{3}$ ，相应的距离分别为 $d_{0}$ ， $d_{1}$ ， $d_{2}$ ， $d_{3}$ ，当车速为v（单位：m/s），且 $0 \leq v \leq 33.3$ 时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且 $0.5 \leq k \leq 0.9$ ）.

阶段
准备
人的反应
系统反应
制动
时间
$t_{0}$
$t_{1} = 0.8 s$
$t_{2} = 0.2 s$
$t_{3}$
距离
$d_{0} = 20 m$
$d_{1}$
$d_{2}$
$d_{3} = \frac{v^{2}}{20 k} m$

(1)、请写出报警距离d（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间的表达式；若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以速度v行驶，求：当 $k = 0.9$ 时，汽车撞上固定障碍物的最短时间t

(2)、若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80m，则：车辆设计的最高速应小于多少km/h.

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阶段	准备	人的反应	系统反应	制动
时间	$t_{0}$	$t_{1} = 0.8 s$	$t_{2} = 0.2 s$	$t_{3}$
距离	$d_{0} = 20 m$	$d_{1}$	$d_{2}$	$d_{3} = \frac{v^{2}}{20 k} m$