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相关试卷

1、已知 $z \in C$ ，且 $| z - i | = 1$ ， $i$ 为虚数单位，则 $|z + 3 - 5 i|$ 的最大值是．

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2、已知向量 $\vec{a} = (m + 1, m)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 所成的角为锐角，则实数 $m$ 的取值范围为.

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3、如图，正方形 $A B C D$ 的中心与圆 $O$ 的圆心重合， $P$ 是圆 $O$ 上的动点，则下列叙述正确的是（）

A、 $\vec{P A} \cdot \vec{P C} + \vec{P B} \cdot \vec{P D}$ 是定值 B、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P D} + \vec{P D} \cdot \vec{P A}$ 是定值 C、 $|\vec{P A}| + |\vec{P B}| + |\vec{P C}| + |\vec{P D}|$ 是定值 D、 ${\vec{P A}}^{2} + {\vec{P B}}^{2} + {\vec{P C}}^{2} + {\vec{P D}}^{2}$ 是定值

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4、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $sin A > sin B$ B、若 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 C、若 $a = 10, c = 8, C = \frac{π}{3}$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有两个 D、若 $a cos A = b cos B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形

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5、已知 $z$ 满足 $\bar{z} (1 - i) = z + \frac{5 i}{2 - i}$ ，则（）

A、 $z = - 4 + i$ B、复平面内 $\bar{z}$ 对应的点在第一象限 C、 $z \bar{z} = 17$ D、 $z$ 的实部与虚部之积为 $- 4$

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6、瑞士数学家欧拉发现的欧拉公式： $e^{i θ} = cos θ + isin θ (θ \in R)$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $e$ 是自然对数的底数．公式非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来．根据欧拉公式，则 $|e^{i θ} - e^{iπ}|$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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7、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2, A C = 3, B = 60 °$ ，则 $\cos C$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

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8、如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高 $A B = 1 km$ ， $C D = 3 km$ ，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°， $∠ A E C = 150 °$ ，则两山顶A，C之间的距离为（）

A、 $2 \sqrt{7} km$ B、 $3 \sqrt{3} km$ C、 $4 \sqrt{2} km$ D、 $2 \sqrt{5} km$

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9、已知点 $P$ 是 $△ A B C$ 的重心，则（）

A、 $\vec{A P} = \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$ B、 $\vec{A P} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ C、 $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $\vec{A P} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

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10、设 $m \in R$ ，向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (m, m - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m$ 等于（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、-4 D、4

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11、已知 $z_{1} = 2 + i, z_{2} = 1 - 2 i$ ，则复数 $z = z_{2} - z_{1}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、如图，四边形 $A B C D$ 由 $△ A B C$ 和 $△ A C D$ 拼接而成，其中 $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A D C > 90 °$ ，若 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ， $∠ A C D = 30 °$ ， $A D = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，且 $t a n ∠ B A D = \frac{3 \sqrt{3}}{5}$ ，则 $△ C D E$ 的面积 $S =$ ．

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13、通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、从檐口到屋脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心角为30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度，且 $\begin{array}{l} \frac{坡屋面高度半径}{半坡宽度} = 0.57 \pm 0.3 \end{array}$ ．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中A为屋脊，B ， C为檐口，且 $\overset{⌢}{A C}$ 所对的圆心角 $θ = \frac{π}{6}$ ， $\overset{⌢}{A C}$ 所在圆的半径为4， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，则（）

A、 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为 $\frac{2}{3} π$ B、 $A C = 2 \sqrt{6} - \sqrt{2}$ C、若 $\overset{⌢}{A B}$ 与 $\overset{⌢}{A C}$ 所在两圆的圆心距为 $4 \sqrt{3}$ ，则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特点 D、若 $\overset{⌢}{A B}$ 与 $\overset{⌢}{A C}$ 所在两圆的圆心距为4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，可将圆心角θ缩小

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14、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sqrt{3} t a n A t a n C = t a n A + t a n C + \sqrt{3}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $c o s A + c o s C$ 的取值范围.

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15、如图，角 $α$ ， $β (0 < α < β < π)$ 的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A ， B两点，M为线段AB的中点．N为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，则下列说法中正确的是（）

A、N点的坐标为 $(c o s \frac{β - α}{2}, s i n \frac{β - α}{2})$ B、 $| O M | = c o s \frac{β - α}{2}$ C、 $\frac{1}{2} (c o s α + c o s β) = c o s \frac{β + α}{2} c o s \frac{α - β}{2}$ D、若 $α + β$ 的终边与单位圆交于点C ，分别过A ， B ， C作x轴的垂线，垂足为R ， S ， T ，则 $| C T | < | A R | + | B S |$

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16、已知 ${a_{n}}$ 是等比数列，公比为 $q$ ，若存在无穷多个不同的 $n$ ，满足 $a_{n + 2} \leq a_{n} \leq a_{n + 1}$ ，则下列选项之中，可能成立的有（）

A、 $q > 0$ B、 $q < 0$ C、 $| q | > 1$ D、 $| q | < 1$

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17、2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了“双减”政策，极大缓解了教育的“内卷”现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图所示.它的画法是这样的：取第一个正方形 $A B C D$ 各边的四等分点E ， F ， G ， H ，作第2个正方形 $E F G H$ ，然后再取正方形 $E F G H$ 各边的四等分点M ， N ， P ， Q ，作第3个正方形 $M N P Q$ ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形 $A B C D$ 边长为 $a_{1}$ ，后续各正方形边长依次为 $a_{2}, a_{3}, ⋯, a_{n}, ⋯$ ；如图阴影部分，设直角三角形AEH面积为 $b_{1}$ ，后续各直角三角形面积依次为 $b_{2}, b_{3}, ⋯, b_{n}, ⋯$ ，若 $a_{1} = 8$ ，下列说法中正确的个数是（）
$①$ $a_{3} = 5;$
$②$ $b_{3} = \frac{75}{32};$
$③$ $\underset{n \to \infty}{l i m} \sum_{i = 1}^{n} b_{i} = 16;$
$④$ $a_{n} \cdot b_{n}$ 是公比为 $\frac{5}{8}$ 的等比数列.

A、1 B、2 C、3 D、4

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18、已知 $T_{n}$ 为正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项的乘积，且 $a_{1} = 3$ ， $T_{n}^{2} = a_{n}^{n + 1}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} > n - 1$ ．

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19、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = - 15 \times {(\frac{1}{2})}^{n} + t$ ，则 $a_{1} a_{2} ⋯ a_{n}$ 取最大值时， $n$ 的值为．

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20、关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（）

A、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，且其前 $n$ 项的和 $S_{n} = 2^{n - 1} + t$ ，则 $t = - \frac{1}{2}$ B、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{2} a_{7} + a_{3} a_{6} = 6$ ，则 $a_{1} a_{2} a_{3} ⋯ a_{8} = 81$ C、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $S_{n}$ 为前 $n$ 项和，则 $S_{n}$ ， $S_{2 n} - S_{n}$ ， $S_{3 n} - S_{2 n}$ ， …成等比数列 D、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $2 a_{1} + 3 a_{3} = S_{6}$ ，则 $S_{10}$ 最小

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