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相关试卷

1、已知 $a = \frac{1}{\ln \sqrt{2}}$ ， $b = 2 \sqrt{e}$ ， $c = \frac{3 \sqrt[3]{e^{4}}}{4}$ （其中 $e$ 为自然常数），则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sin π x, 0 \leq x \leq 1 \\ \log_{2023} x, x > 1 \end{array}$ ，若实数a，b，c互不相等，且 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a + b + c$ 的取值范围是（）

A、 $(2, 2024)$ B、 $(2, 2024]$ C、 $(2, 2023)$ D、 $(2, 2023]$

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 、 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n + 4}{n + 2}$ ，则 $\frac{2 a_{6}}{b_{2} + b_{10}}$ （）

A、 $\frac{111}{13}$ B、 $\frac{37}{13}$ C、 $\frac{111}{26}$ D、 $\frac{37}{26}$

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4、化简 $\sqrt{1 - 2 \sin (π + 1) \cos (π + 1)}$ 等于（）

A、 $\sin 1 - \cos 1$ B、 $\cos 1 - \sin 1$ C、 $\pm (\sin 1 - \cos 1)$ D、 $\sin 1 + \cos 1$

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5、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |2^{x} \geq 1\}, B = \{x |- 1 < x < 1\}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $\{x |- 1 < x < 1\}$ B、 $\{x |0 \leq x < 1\}$ C、 $\{x |x > - 1\}$ D、 $\{x |x \geq 0\}$

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6、如果函数 $y = f (x)$ ， $x \in D$ 满足：对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in D (x_{1} \neq x_{2})$ ，均有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < {|x_{1} - x_{2}|}^{n}$ （ $n$ 为正整数）成立，则称函数 $y = f (x)$ 在 $D$ 上具有“ $n$ 级”性质.

(1)、判断 $f (x) = \frac{1}{2} x ^{2} + 1$ 在区间 $(0, 1)$ 上是否具有“1级”性质，并说明理由；

(2)、若 $g (x) = a (x - 1) e^{x} - x ln x - \frac{1}{2} x^{2} + x$ 在区间 $[1, 2]$ 上具有“1级”性质，求 $a$ 的取值范围；

(3)、已知函数 $y = h (x)$ 在定义域 $R$ 上具有“ $n$ 级”性质，求证：对任意 $s$ ， $t \in R$ ，当 $s < t$ 时，都有 $2024^{n - 1} |h (t) - h (s)| < {(t - s)}^{n}$ 成立.

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7、小张参加某项专业能力考试.该考试有 $A$ ， $B$ ， $C$ 三类问题，考生可以自行决定三类问题的答题次序，回答问题时按答题次序从某一类问题中随机抽取一个问题回答，若回答正确则考试通过，若回答错误则继续从下一类问题中再随机抽取一个问题回答，依此规则，直到三类问题全部答完，仍没有答对，则考试不通过.已知小张能正确回答 $A$ ， $B$ ， $C$ 三类问题的概率分别为 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ ，且每个问题的回答结果相互独立.

(1)、若小张按照 $A$ 在先， $B$ 次之， $C$ 最后的顺序回答问题，记 $X$ 为小张的累计答题数目，求 $X$ 的分布列；

(2)、小张考试通过的概率会不会受答题次序的影响，请作出判断并说明理由；

(3)、设 $0 < p_{3} < p_{2} < p_{1} < 1$ ，为使累计答题数目的均值最小，小张应如何安排答题次序？并说明理由.

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8、已知函数 $f (x) = e^{x} - k x^{2} - x$ .

(1)、若 $k = \frac{1}{2}$ ，求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) > 1$ ；

(2)、若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求 $k$ 的取值范围.

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9、三角形 $A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} - a^{2} - c^{2})$ .

(1)、求 $∠ B$ 的大小；

(2)、如图，若 $D$ 为 $△ A B C$ 外一点，在四边形 $A B C D$ 中，边长 $B C = 2$ ， $∠ D C B = ∠ B$ ， $∠ C A D = 30^{\circ}$ ，求 $C D$ 的最小值.

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和公式为 $S_{n} = 3 n^{2} - 2 n$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = a_{1}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{n} = 2^{n} (b_{n + 1} - b_{n})$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.

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11、袋子里有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从袋子中有放回地依次随机抽取四张卡片并记下卡片上数字，则有两张卡片数字之和为5的概率是.

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12、若 ${(x + a)}^{2} (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x + b)$ 的展开式中， $x^{5}$ 项的系数为 $- 8$ ，则 $a b$ 的最大值为.

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13、已知函数 $f (x) = ln (2 x + 1) - m x$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线的斜率为 $- 5$ ，则实数 $m$ 的值为.

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14、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，集合 $M = {x_{0} \in R | x \in (- \infty, x_{0}), f (x) < f (x_{0})}$ ，在使得 $M = [- 1, 1]$ 的所有 $f (x)$ 中，下列成立的是（）

A、存在 $f (x)$ ，当 $m \neq n$ 时有 $f (m) = f (n)$ B、存在 $f (x)$ 是增函数 C、存在 $f (x)$ 是奇函数 D、存在 $f (x)$ ，使 $f (x)$ 恒大于0

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15、设函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在区间 $[0, 2 π]$ 有且仅有 $5$ 个对称中心，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(0, 2 π)$ 有且仅有2个极大值点 B、 $f (x)$ 在区间 $(0, 2 π)$ 有且仅有3个极小值点 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{4})$ 单调递减 D、 $ω$ 的取值范围是 $(\frac{25}{12}, \frac{31}{12}]$

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16、以下说法正确的是（）

A、两个变量的样本相关系数越大，它们的线性相关程度越强 B、残差点分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好 C、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 4.881 > 3.841 = x_{0.05}$ ，则依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，可以认为“ $X$ 与 $Y$ 没有关联” D、若随机变量 $X \sim N (0, 1)$ ， $Y \sim N (2, 4)$ ，则 $P (X > 1) < P (Y < 1)$

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17、已知函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} + 4 a (a \neq 0)$ ，若 $f (x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} < 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0) \cup (0, 1)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (0, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$

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18、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以 $x$ 轴非负半轴为始边作角 $x$ 和角 $x - \frac{π}{3}$ ， $x \in [0, 2 π]$ ，它们的终边分别与单位圆交于点 $M$ ， $N$ ，设线段 $M N$ 的中点 $P$ 的纵坐标为 $y_{0}$ ，若 $y_{0} > \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则角 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6})$ B、 $(\frac{π}{3}, π)$ C、 $(\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6})$ D、 $(\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3})$

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19、数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} > 0$ ， $a_{1} a_{n} = p^{21 - n} (p > 1)$ ，若 $T_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积，则 $T_{n}$ 的最大值为（）

A、 $p^{110}$ B、 $p^{56}$ C、 $p^{\frac{441}{8}}$ D、 $p^{55}$

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20、大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 $v$ （单位： $m / s$ ）可以表示为 $v = \frac{1}{2} \log_{3} \frac{O}{100}$ ，其中 $O$ 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为 $2 m / s$ 时耗氧量的单位数为 $U$ ，游速为 $3 m / s$ 时耗氧量的单位数为 $W$ ，则 $\frac{W}{U} =$ （）

A、3 B、6 C、9 D、12

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