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相关试卷

1、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，且 $\sqrt{3} a \sin C - a \cos C = c - b$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 7, △ A B C$ 的面积为 $\frac{15 \sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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2、如图，某数阵满足：各项均为正数，每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列， $a_{2, 1} = 2, a_{3, 2} = 12, a_{1, 4} \cdot a_{3, 1} = a_{3, 4}$ ，则 $a_{7, 8} =$ ， $\sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} a_{i, j}) =$ ．
$a_{1, 1}$         $a_{1, 2}$         $a_{1, 3}$        …        $a_{1, n}$
$a_{2, 1}$         $a_{2, 2}$         $a_{2, 3}$        …        $a_{2, n}$
…          …          …          …        …
$a_{n, 1}$         $a_{n, 2}$         $a_{n, 3}$        …        $a_{n, n}$

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3、在一次活动上，四位同学将自己准备好的一张贺卡放在纸箱中，随后每人随机从中抽取一张，则四位同学均未取到自己的贺卡的概率为．

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4、若 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60 °$ 的两个单位向量，则 $(2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}) \cdot (- 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}) =$ ．

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5、在圆锥 $S O$ 中，母线 $S A = l$ ，底面圆的半径为r，圆锥 $S O$ 的侧面积为 $3 π$ ，则（）

A、当 $r = \frac{3}{2}$ 时，圆锥 $S O$ 内接圆柱体的体积最大值为 $\frac{\sqrt{7}}{6} π$ B、当 $r = \frac{3}{2}$ 时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为 $\frac{3 \sqrt{7}}{4}$ C、当 $l = 3$ 时，圆锥 $S O$ 能在棱长为4的正四面体内任意转动 D、当 $l = 3$ 时，棱长为1的正四面体能在圆锥 $S O$ 内任意转动

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6、设函数 $f (x) = x^{2} (3 - x)$ ，则（）

A、 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极小值点 B、当 $0 < x < 1$ 时， $0 < f (2 x + 1) \leq 4$ C、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > f (x^{2})$ D、当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) < f (1 - x)$

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7、对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩 $X$ 服从正态分布 $N (72, 8^{2})$ ，女生成绩 $Y$ 服从正态分布 $N (74, 6^{2})$ ．则（）

A、 $P (X \leq 86) < P (Y \leq 86)$ B、 $P (X \leq 80) > P (Y \leq 80)$ C、 $P (X \leq 74) > P (Y \leq 74)$ D、 $P (X \leq 64) = P (Y \geq 80)$

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8、已知函数 $f (x) = e^{x} + x, g (x) = \ln x + x$ ，若 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则 $x_{1} x_{2}$ 的最小值为（）

A、 $- e$ B、 $- \frac{1}{e}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{\sqrt{e}}{2}$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} - 2 a x - a, x < 4 \\ 2^{x} + \ln (x - 3), x \geq 4 \end{cases}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = f (n) (n \in N^{*})$ ，且数列 $\{a_{n}\}$ 是单调递增数列，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{25}{7}, - \frac{5}{2})$ B、 $[- \frac{32}{9}, - 4]$ C、 $[- \frac{32}{9}, - 3]$ D、 $(- \frac{25}{7}, - \frac{3}{2})$

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10、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，椭圆 $E$ 与抛物线 $C$ 交点的连线经过椭圆 $E$ 的右焦点，抛物线 $C$ 的准线经过椭圆 $E$ 的左焦点，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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11、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π), x = \frac{π}{6}$ 和 $x = \frac{2 π}{3}$ 是 $f (x)$ 相邻的两个零点，则（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{5 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ 上单调递减 C、 $f (\frac{5 π}{6} - x) = - f (x)$ D、直线 $y = - x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线

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12、已知 $\sin α + \cos β = \frac{1}{2}, \cos α - \sin β = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (α - β) =$ （）

A、 $\frac{67}{72}$ B、 $- \frac{67}{72}$ C、 $\frac{59}{72}$ D、 $- \frac{59}{72}$

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13、元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（）

A、 $9$ 升 B、 $10.5$ 升 C、 $12$ 升 D、 $13.5$ 升

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14、已知复数 $z = \frac{3 - i}{1 + 2 i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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15、已知全集 $U = A \cup B = {x \in N ∣ 0 \leq x \leq 10}, A \cap (∁_{U} B) = {1, 3, 5, 7}$ ，则 $B =$ （）

A、 ${1, 3, 5, 7}$ B、 ${2, 4, 6, 8}$ C、 ${1, 3, 5, 7, 9}$ D、 ${0, 2, 4, 6, 8, 9, 10}$

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16、某项测试共有 $n$ 道多项选择题，每道题的评分标准如下：全部选对得5分；部分选对得2分；有选错或不答得0分．记 $n$ 道题的总得分为 $X, X$ 的取值个数为 $a_{n}$ ．

(1)、求 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 的值；

(2)、当 $n = 5$ 时，若某人参加这项测试，每道题得5分、2分、0分的概率相等，且每道题答对与否相互独立，求 $X = 10$ 的概率；

(3)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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17、已知 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，直线 $A M, B M$ 交于点 $M$ ，且直线 $A M, B M$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ ，点 $M$ 的轨迹记为曲线 $C$ ．

(1)、求 $C$ 的方程．

(2)、不过点 $N (0, 1)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，且直线 $P N$ 与 $Q N$ 的斜率之和为 $2$ ，试问直线 $l$ 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为等腰梯形，其中 $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 C D = 4, A D = \sqrt{10}$ ．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ．

(2)、若 $P D = 3$ ，求二面角 $B - P A - C$ 的余弦值．

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $(b + c) cos A = a (cos B - cos C)$ ．

(1)、证明： $A = 2 B$ ．

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围．

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20、已知函数 $f (x) = x^{3} + \frac{1}{2} (a - 3) x^{2} - a x + 4$ ．

(1)、当 $a = 6$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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