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相关试卷

1、若关于 $x$ 不等式 $\ln (a x) \leq x + b$ 恒成立，则当 $\frac{1}{e} \leq a \leq e$ 时， $e^{b + 1} - \ln a$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{e} + 1$ B、 $e - 1$ C、1 D、 $e$

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2、已知 $3^{m} = 4$ ， $4^{m} - a = 4$ ， $2^{m} - b = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a < b$ B、 $a > b$ C、 $a = b$ D、 $a = - b$

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3、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (1) = 0$ ， $f^{'} (x) > f (x)$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 1) \cup (1, + \infty)$

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4、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = \frac{3 e^{x} - 1}{e^{x} - 1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有两个零点 B、当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{e^{x} - 3}{e^{x} - 1}$ C、 $f (x) > 0$ 的解集是 $(- \infty, - \ln 3)$ D、 $\forall m \in R$ ， $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $f (x_{0}) = m$

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5、若函数 $f (x) = a \ln x + \frac{3}{x} - x$ 既有极大值也有极小值，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 2 \sqrt{3})$ B、 $(- \infty, - 2 \sqrt{3}) \cup (2 \sqrt{3}, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ D、 $(2 \sqrt{3}, + \infty)$

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6、已知角 $α$ 的终边经过点 $(\sin \frac{5 π}{6}, \cos \frac{5 π}{6})$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7、已知 $\tan α = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{\sin α - \cos α}{\sin α + 3 \cos α} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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8、已知集合 $A = \{x ||2 x - 1| \leq 3\}$ ， $B = \{x \in N |x^{2} - 4 x \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 2)$ B、 $[0, 2]$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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9、已知 $p$ 为正整数，集合 $S_{p} = \{a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{p}\}$ 中， $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{p}$ 依次构成公比为 $k (k > 1)$ 的正项等比数列.
集合 $T$ 为 $S_{p}$ 的非空子集.若 $T$ 中只有一个元素或 $T$ 中任意两个元素 $a_{i}, a_{j} (1 \leq i < j \leq p)$ 都满足 $\frac{a_{j}}{a_{i}} > k^{m} (m \in N^{*})$ ，则称 $T$ 为 $S_{p}$ 的“ $m$ -分离子集”.记数列 $\{c_{n}\}$ 为 $x^{n + 1} - x^{n} - 1$ 的正零点.

(1)、写出 $S_{4}$ 的所有2-分离子集；

(2)、记 $S_{p}$ 的“1-分离子集”的数量为 $f_{1} (p)$ ，证明： $f_{1} (p) > c_{1}^{p} - 1$ ；

(3)、在 $S_{p}$ 中的所有非空子集中等概率地选取一个子集 $T$ ，证明： $T$ 为 $S_{p}$ 的“ $m$ -分离子集”的概率大于 $\frac{c_{m}^{p} - 1}{2^{p} - 1}$ .

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10、已知函数 $f (x) = a x^{3} - x^{2} - 2 \cos x$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(π, f (π))$ 处的切线过原点，求 $a$ 的取值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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11、如图所示，正四面体 $O - A B C$ 棱长为4， $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 分别在棱 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ 上， $A_{1} B_{1} = B_{1} C_{1} = 1$ .

(1)、求 $B B_{1}$ 的最小值；

(2)、求三棱锥 $O - B A_{1} C_{1}$ 体积最大时 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积.

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12、已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 过 $(\sqrt{14}, \sqrt{3})$ 和 $(7, 3 \sqrt{2})$ 两点.

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $S$ ， $T$ 为双曲线 $C$ 上不关于坐标轴对称的两点， $M$ 为 $S T$ 中点，且 $S T$ 为圆 $G$ 的一条非直径的弦，记 $G M$ 斜率为 $k_{1}$ ， $O M$ 斜率为 $k_{2}$ ，证明： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值.

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13、已知在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边， $△ A B C$ 的面积为 $b^{2} \sin C$ .

(1)、求 $\frac{\sin A}{\sin B}$ 的值；

(2)、若 $c = 5$ ，证明： $\frac{10}{3} < a < 10$ .

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14、设定义域为 $(0, + \infty)$ 的单调递增函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = 2 f (x - 1) + x - 2 (x \geq 2)$ ，且 $f (1) = 1$ ，则 $x \in N^{*}$ 时， $f (x) =$ ，若实数 $a$ ， $b$ 满足对任意符合题意的 $f (x)$ 都有 $a \leq f (\frac{2025}{7}) \leq b$ ，则 $\log_{2} (b - a)$ 的最小值为.

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15、已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $V_{1}$ ，三棱锥 $A - B_{1} C D$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{2}}{V_{1}} =$ .

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16、对称性是数学美的一个重要特征，函数的对称性是函数的重要性质.已知函数 $f (x)$ 的图像连续不断，且在定义域内有导函数 $f^{'} (x)$ ，则下列说法正确的有（）

A、若函数 $f (x)$ 的图像关于点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 对称，则函数 $f^{'} (x)$ 的图像关于直线 $x = x_{0}$ 对称 B、若 $f^{'} (x)$ 单调， $x_{0}$ 在 $f (x)$ 定义域内，则函数 $f (x)$ 的图像上可能存在关于 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 对称的两点 C、若 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的极值点，则“函数 $f (x)$ 的图像上存在关于直线 $x = x_{0}$ 对称的两点”是“函数 $f^{'} (x)$ 的图像上存在关于 $(x_{0}, 0)$ 对称的两点”的充分不必要条件 D、若函数 $f (x) = x \ln x$ ，则当且仅当 $\frac{1}{e} < x_{0} < \frac{1}{2}$ 时， $y = f (x)$ 的图像上存在关于直线 $x = x_{0}$ 对称的两点.参考数据： $\lim_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0$

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17、如图所示，四面体 $A B C D$ 的底面是以 $B D$ 为斜边的直角三角形， $A B C D$ 体积为 $V_{1}$ ， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = B D$ ， $P$ 为线段 $A C$ 上一动点， $O_{1}$ 为 $A D$ 中点，则下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $P - B O_{1} D$ 的体积和三棱锥 $P - B O_{1} A$ 的体积相等 B、当 $P O_{1} ⊥ B C$ 时， $P O_{1} ⊥ A B$ C、当 $B P ⊥ P D$ 时， $B P ⊥ D A$ D、四面体 $A B C D$ 的外接球球心为 $O_{1}$ ，且外接球体积 $V_{2}$ 与 $V_{1}$ 之比的最小值是 $4 \sqrt{2} π$

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18、已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ ， $x_{6}$ 为依次增大的一组数据，则去掉 $x_{1}$ 和 $x_{6}$ 后，这组数据的（）一定减小.

A、极差 B、下四分位数 C、上四分位数 D、中位数

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19、有 $m (m \geq 3)$ 个盲盒，其中有 $n (1 \leq n < m - 1)$ 个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为 $p_{1}$ ；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为 $p_{2}$ ，则对任意符合题意的 $m$ ， $n$ ，都有（）

A、 $p_{1} < p_{2}$ B、 $p_{1} = p_{2}$ C、 $p_{1} > p_{2}$ D、无法确定 $p_{1}$ 与 $p_{2}$ 的大小关系

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20、若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1 (a > 0)$ 的右支上存在两点 $A$ ， $B$ 使直线 $A B$ 垂直于双曲线在点 $A$ 处的切线，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(0, \sqrt{2})$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 1)$

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