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相关试卷

1、 $f (x)$ 是定义在R上周期为 $2$ 的奇函数，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = x^{2} - x$ ，则 $f (\frac{7}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $B D = 2 D C$ ．若 $\overset{⃑}{A B} = \vec{a}$ ， $\overset{⃑}{A C} = \vec{b}$ ，则 $\overset{⃑}{A D} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$

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3、若集合 $A = {- 2, 0, 1}$ ， $B = {x | x < - 1$ 或 $x > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2}$ B、 ${ 1}$ C、 ${- 2, 1}$ D、 ${- 2, 0, 1}$

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4、已知集合 $Ω_{n} = \{X| X = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}), x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, ..., n\}$ ，对于任意 $X \in Ω_{n}$ ，
操作一：选择 $X$ 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续 $k$ 个 $1$ 或连续 $k$ 个 $0$ ，得到 $Y \in Ω_{n + k} (k \geq 1)$ ；
操作二：删去 $X$ 中连续 $k$ 个 $1$ 或连续 $k$ 个 $0$ ，得到 $Y \in Ω_{n - k} (1 \leq k \leq n - 1)$ ；
进行一次操作一或者操作二均称为一次“ $10$ 月变换”，在第 $n$ 次 $(n \in N^{*})$ “ $10$ 月变换”的结果上再进行 $1$ 次“ $10$ 月变换”称为第 $n + 1$ 次“ $10$ 月变换”．

(1)、若对 $X = (0, 1, 0)$ 进行两次“ $10$ 月变换”，依次得到 $Y \in Ω_{4}$ ， $Z \in Ω_{2}$ ．直接写出 $Y$ 和 $Z$ 的所有可能情况．

(2)、对于 $X = (0, 0, ..., 0) \in Ω_{100}$ 和 $Y = (0, 1, 0, 1, ..., 0, 1) \in Ω_{100}$ 至少要对 $X$ 进行多少次“ $10$ 月变换”才能得到 $Y$ ？说明理由．

(3)、证明：对任意 $X, Y \in Ω_{2 n}$ ，总能对 $X$ 进行不超过 $n + 1$ 次“ $10$ 月变换”得到 $Y$ ．

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5、设函数 $f (x) = e^{x} - m ln x - m x (m > 0)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数， $f^{'} (x)$ 有唯一零点 $x_{0}$ .

(1)、 $y = f^{'} (x)$ 的图像在 $(x_{0}, 0)$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ ，求 $\frac{g (2 x_{0})}{m}$ 的最小值及此时 $m$ 的取值；

(2)、若对任意满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 的 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 都有 $x_{1} + x_{2} > 2 x_{0}$ ，证明： $m \leq \frac{e}{2}$ .

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6、如图，边长为4的两个正三角形 $A B C$ ， $B C D$ 所在平面互相垂直， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $C D$ 的中点，点 $G$ 在棱 $A D$ 上， $A G = 2 G D$ ，直线 $A B$ 与平面 $E F G$ 相交于点 $H$ .

(1)、证明： $B D // G H$ ；

(2)、求直线 $B D$ 与平面 $E F G$ 的距离.

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7、海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）
时刻：x（时）
0
3.1
6.2
9.3
12.4
15.5
18.6
21.7
24
水深：y（米）
5.0
7.4
5.0
2.6
5.0
7.4
5.0
2.6
4.0

(1)、根据以上数据，可以用函数 $y = A sin (ω x + φ) + b (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；

(2)、某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n} = n^{2} + 3 n, n \in N^{*}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、若等比数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = a_{2}, b_{2} = a_{3}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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9、设实数x、y、z、t满足不等式 $1 \leq x \leq y \leq z \leq t \leq 100$ ，则 $\frac{x}{y} + \frac{z}{t}$ 的最小值为.

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10、已知函数 $f (x) = |ln (x + 1)| - k$ 有两个零点 $a, b (a < b)$ ，则 $a + 2 (b + 1)$ 的取值范围为．

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11、已知对任意实数x，均有 $cos (x - \frac{π}{6}) = sin (ω x + φ), ω \in R$ ，写出一组满足条件的 $(ω, φ) =$ ．

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12、抛物线 $τ$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 焦点为F，且过点 $A (4, 4)$ ，斜率互为相反数的直线 $A C$ ， $A D$ 分别交 $τ$ 于另一点C和D，则下列说法正确的有（）

A、直线 $C D$ 过定点 B、 $τ$ 在C，D两点处的切线斜率和为 $- 4$ C、 $τ$ 上存在无穷多个点到点F和直线 $y = 5$ 的距离和为6 D、当C，D都在A点左侧时， $△ A C D$ 面积的最大值为 $\frac{256 \sqrt{3}}{9}$

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13、已知 $O$ 为坐标原点，点 $A (cos α, sin α)$ ， $B (cos β, sin β)$ ， $C (cos \frac{α + β}{2}, sin \frac{α + β}{2})$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} |$ B、 $| \vec{A C} | = | \vec{B C} |$ C、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C} = cos \frac{α - β}{2}$ D、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 2 \vec{O A} \cdot \vec{O C}$

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14、设 $a, b$ 为两条不同的直线， $α, β$ 为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）

A、若 $a$ $∥$ $b, b$ $∥$ $α$ ，则 $a$ $∥$ $α$ B、若 $a$ $∥$ $b, a$ $∥$ $α, b$ $∥$ $β$ ，则 $α$ $∥$ $β$ C、若 $a ⊥ b, a ⊥ α, b$ $∥$ $β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $a ⊥ α, b$ $∥$ $α$ ，则 $a ⊥ b$

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15、已知 $x^{x - 1} \geq \ln x + \frac{a}{x}$ 对 $\forall x > 0$ 恒成立，则 $a$ 的最大值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{e}$ C、e D、1

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16、若 $F (c, 0)$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，过 $F$ 作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $△ O A B$ 的面积为 $\frac{12 a^{2}}{7}$ ，则该双曲线的离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{8}{5}$

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17、如图所示，直线 $y = k x + m$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切于 $(x_{1}, f (x_{1})), (x_{2}, f (x_{2}))$ 两点，其中 $x_{1} < x_{2}$ ．若当 $x \in (0, x_{1})$ 时， $f^{'} (x) > k$ ，则函数 $f (x) - k x$ 在 $(0, + \infty)$ 上的极大值点个数为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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18、深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型： $L = L_{0} D^{\frac{G}{G_{0}}}$ ，其中，L表示每一轮优化时使用的学习率， $L_{0}$ 表示初始学习率， $D$ 表示衰减系数， $G$ 表示训练迭代轮数， $G_{0}$ 表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为 $0.5$ ，衰减速度为 $18$ ．经过 $18$ 轮迭代学习时，学习率衰减为 $0.4$ ，则学习率衰减到 $0.2$ 以下所需要的训练迭代轮数至少为（）（参考数据： $\lg 2 = 0.3010$ ）

A、 $71$ B、 $72$ C、 $73$ D、 $74$

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19、已知 $a, b$ 均为正实数．则“ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ”是“ $a^{2} + 5 b^{2} > 6 a b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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20、小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间不唱歌让他休息，则小明一共有（）种练习的方案.

A、31 B、18 C、21 D、33

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时刻：x（时）	0	3.1	6.2	9.3	12.4	15.5	18.6	21.7	24
水深：y（米）	5.0	7.4	5.0	2.6	5.0	7.4	5.0	2.6	4.0