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相关试卷

1、若直线 $y = k x + b$ 是曲线 $f (x) = e^{x - 2023}$ 与 $g (x) = e^{x + 2024} - 2025$ 的公切线，则 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{2025}$ B、 $\frac{2023}{2024}$ C、 $\frac{2025}{4047}$ D、 $\frac{2}{4047}$

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2、若函数 $f (x) = \sin ω x + \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)$ 在区间 $[a, b]$ 上是减函数，且 $f (a) = 1$ ， $f (b) = - 1$ ， $b - a = \frac{π}{2}$ ，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、2

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3、已知 $a = \log_{4} 2$ ， $b = \log_{8} 3$ ， $c = {(\frac{1}{5})}^{\frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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4、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $F$ 在边 $C D$ 上，若 $\vec{A F} \cdot \vec{A B} = 2$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的值为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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5、已知函数 $f (x)$ 是定义域为R的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x (x + 2)$ .若 $f (3 + m) + f (3 m - 7) < 0$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(0, + \infty)$

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6、设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的可导函数，则 $f^{'} (x_{0}) = 0$ 是 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的极值点的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、已知集合 $A = \{x | x > 1\}, B = \{x | (x + 1) (x - 3) < 0\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(- 1, 1]$

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C = C D = \sqrt{5}$ .
（1）求证：平面 $P A B$ ；
（2）求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面 $P C D$ ？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

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9、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.已知函数 $f (x) = \frac{2}{1 + 2^{1 - x}}$ .

(1)、证明：函数 $g (x) = f (x + 1) - 1$ 是奇函数，并写出函数 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性（不用证明），若 $g (- a^{2} - 1) + g (4 - 2 a) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差为 $3$ 的等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比为 $2$ 的等比数列，且 $a_{2} + a_{4} = b_{4} + 2$ ， $a_{1} + a_{3} = b_{2} + b_{3}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{9}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求证： $\frac{1}{2} \leq S_{n} < 1$ .

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11、如下图，正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为 14 cm， $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ 依次将 $A_{1} B_{1}, B_{1} C_{1}, C_{1} D_{1}, D_{1} A_{1}$ 分为3：4的两部分，得到正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ，依照相同的规律，得到正方形 $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3} 、 A_{4} B_{4} C_{4} D_{4} 、 \dots 、 A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . 一只蚂蚁从 $A_{1}$ 出发，沿着路径 $A_{1} A_{2} A_{3} \dots A_{n}$ 爬行，设其爬行的长度为 $x$ ， $K$ 为正整数，且 $x$ 与 $K$ 恒满足不等式 $x \leq K$ ，则 $K$ 的最小值是.

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12、设函数 $f (x) = x^{3} + (a - 1) \cos x - 3 x$ ，若 $f (x)$ 为奇函数，则曲线 $y = f (x)$ 过点 $(2 a, - 6)$ 的切线方程为．

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13、已知圆台 $O O_{1}$ 上、下底面的半径分别为2和4，母线长为4．正四棱台上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面 $A B C D$ 的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（）

A、 $A A_{1} ⊥ B D$ B、二面角 $A_{1} - A B - C$ 的大小为 $60^{\circ}$ C、正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球的表面积为 $64 π$ D、设圆台 $O O_{1}$ 的体积为 $V_{1}$ ，正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{π}{2}$

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14、若正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $\log_{2} a + \log_{2} b \leq - 2$ B、 $2^{a} + 2^{b} \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $a + \ln b < 0$ D、 $a^{2} + b^{2} \leq \frac{1}{2}$

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x ln x, x > 0, \\ - x^{2} - 2 x + 1, x \leq 0, \end{array}$ 函数 $g (x) = f (x) - a$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a < - \frac{1}{e}$ ，则 $g (x)$ 恰有2个零点 B、若 $g (x)$ 恰有2个零点，则 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, - \frac{1}{e}) \cup (2, + \infty)$ C、若 $g (x)$ 恰有3个零点，则 $a$ 的取值范围是 $[0, 1)$ D、若 $1 \leq a < 2$ ，则 $g (x)$ 恰有3个零点

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16、在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（）

A、0.475 B、0.525 C、0.425 D、0.575

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17、函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若图象上的所有点向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图像，若 $g (x)$ 是奇函数，则图中的 $a$ 值为（）

A、 $- 1$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

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18、已知 $\vec{a} = (\sin α, 1 - 4 \cos 2 α)$ ， $\vec{b} = (1, 3 \sin α - 2)$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\tan (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $- \frac{2}{7}$

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19、如果定义域为 $[0, 1]$ 的函数 $f (x)$ 同时满足以下三个条件：（1）对任意的 $x \in [0, 1]$ ，总有 $f (x) \geq 0$ ；（2） $f (1) = 1$ ；（3）当 $x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0$ ，且 $x_{1} + x_{2} \leq 1$ 时， $f (x_{1} + x_{2}) \geq f (x_{1}) + f (x_{2})$ 恒成立.则称 $f (x)$ 为“友谊函数”.请解答下列问题：

(1)、已知 $f (x)$ 为“友谊函数”，求 $f (0)$ 的值；

(2)、判断函数 $g (x) = 3^{x} - x - 1 (x \in [0, 1])$ 是否为“友谊函数”？并说明理由；

(3)、已知 $f (x)$ 为“友谊函数”，存在 $x_{0} \in [0, 1]$ ，使得 $f (x_{0}) \in [0, 1]$ ，且 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，证明： $f (x_{0}) = x_{0}$ .

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20、设函数 $f (x) = ln x, g (x) = 1 - \frac{1}{x} (x > 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、证明： $f (x) \geq g (x)$ ：

(3)、若方程 $a f (x) = g (x)$ 有两个实根，求实数 $a$ 的取值范围，

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