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相关试卷

1、已知椭圆 $Γ$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ ，椭圆 $Γ$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $Γ$ 交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）.

(1)、若椭圆 $Γ$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $a = 2$ ，左顶点为 $A$ ，求 $△ A P Q$ 的面积的最大值．

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $3$ 的等比数列， $a_{1}, a_{2}, a_{3} - 12$ 成等差数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{\log_{3} a_{n}}{a_{n}}$ ，设数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{1}{3} \leq T_{n} < \frac{3}{4}$ ．

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $△ P A D$ 是正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ 是 $P D$ 的中点．

(1)、求证： $P B / /$ 平面 $A M C$ ；

(2)、求二面角 $M - A C - D$ 的余弦值．

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4、若实数 $x$ ， $y$ 满足 $2 x^{2} + x y - y^{2} = 1$ ，则 $\frac{x - y}{5 x^{2} - y^{2}}$ 的最大值为.

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5、已知函数 $f (x) = \sin (π x + φ) (| φ | < π)$ 的图象过点 $(\frac{1}{6}, 1)$ ，若 $f (x)$ 在 $[- 2, a]$ 内有4个零点，则a的取值范围为．

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6、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的值域是 $[1, 2]$ ，则函数 $y = f (x + 3) + 1$ 的值域是.

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7、事件 $A$ 、 $B$ 互斥，若 $P (A) = 0.2$ ， $P (A \cup B) = 0.6$ ，则 $P (B) =$ .

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8、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为正方形 $C_{1} C D D_{1}$ 内一个动点（包括边界），且 $B_{1} F //$ 平面 $A_{1} B E$ ，则下列说法正确的有（）

A、动点 $F$ 轨迹的长度为 $\sqrt{2}$ B、 $B_{1} F$ 与 $A_{1} B$ 不可能垂直 C、直线 $B F$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成角正弦值的最小值为 $\frac{4}{9}$ D、当三棱锥 $B_{1} - D_{1} D F$ 的体积最大时，其外接球的表面积为 $\frac{25}{2} π$

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9、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b, c > d$ ，则 $a + c > b + d$ B、若 $a < b < 0, c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ C、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ D、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$

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10、已知函数 $f (x) = 2 - | x |$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq x^{2} - 2 x - m$ 的解集中有且仅有 $2$ 个整数，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2, - 1)$ B、 $(- 2, - 1)$ C、 $[- 2, 0)$ D、 $(- 2, 0)$

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11、已知 $θ \in \{\frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}, π\}$ ，现将函数 $f (x) = \cos^{4} x - \sin^{4} x$ 的图象向右平移 $θ$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，若存在 $ω > 0$ ，使得函数 $y = \tan ω x$ 与 $g (x)$ 图象的对称中心完全相同，则满足题意的 $θ$ 的个数为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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12、如图 $A, B$ 两点在河的同侧，且 $A$ 、 $B$ 两点均不可到达．现需测 $A$ 、 $B$ 两点间的距离，测量者在河对岸选定两点 $C$ 、 $D$ ，测得 $C D = 200 m$ ，同时在 $C$ 、 $D$ 两点分别测得 $∠ A C D = ∠ A D C = 60 °$ ， $∠ B D C = 45 °$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点间的距离为（）

A、 $100 \sqrt{2} m$ B、 $200 m$ C、 $100 \sqrt{10} m$ D、 $400 m$

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13、已知 $a > 1$ ，且 ${log}_{a} 8 \times {log}_{a} 2 = 1 - {log}_{a} 4$ ，则 $a =$ （）

A、2或8 B、 $\frac{1}{2}$ 或8 C、8 D、64

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14、已知不等式 $x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 ${x | 3 < x < 4}$ ，则 $c x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \frac{1}{3}, - \frac{1}{4})$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{4}, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{3}, + \infty)$

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15、甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{5}$ ，则恰有一人成功破译的概率为（）

A、 $\frac{1}{15}$ B、 $\frac{2}{15}$ C、 $\frac{4}{15}$ D、 $\frac{2}{5}$

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16、已知 $\frac{\cos θ + \sin θ}{\cos θ - \sin θ} = 2$ ，则 $\tan θ$ =（）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $3$

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17、已知复数 $z_{1} = - 2 + i$ ， $z_{2} = 1 + 2 i$ ，则复数 $z_{1} + z_{2}$ 在复平面内对应点所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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18、下列函数中，定义域为 $(0, + \infty)$ 的函数是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $f (x) = \ln x$ C、 $f (x) = 2^{x}$ D、 $f (x) = \tan x$

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19、若对于任意整数 $i$ ， $j$ ，均有 $a_{i + j} < a_{i} + a_{j}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为 $A -$ 数列.

(1)、设各项均为正整数且公差不为0的等差数列 $\{b_{n}\}$ 为 $A -$ 数列， $b_{1} = 2$ ，求 $b_{n}$ ；

(2)、证明：当 $0 < k < 1$ 时，数列 $\{n^{k}\}$ 为 $A -$ 数列；

(3)、证明：若数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，当 $a_{n} > k a_{n - 1}$ 时（其中 $k > 1$ ， $k$ 为常数），数列 $\{a_{n}\}$ 不是 $A -$ 数列.

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程：

(2)、过点 $Q (1, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $M (2, \sqrt{3})$ ，直线 $B M$ 与直线 $x = 3$ 交于点 $N$ .
（i）证明：直线 $A N$ 的斜率为定值；
（ii）记 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 分别为 $△ Q B M$ ， $△ A B N$ 的面积，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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