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相关试卷

1、在 ${(1 - x)}^{5} + {(1 - x)}^{6} + {(1 - x)}^{7} + {(1 - x)}^{8}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 的项的系数是（）

A、74 B、121 C、 $- 74$ D、 $- 121$

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2、要得到函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需将 $y = \sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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3、已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 $\{\begin{matrix} x - y \geq 0 \\ x + y \leq 2 \\ \begin{matrix} y \geq 0 \end{matrix} \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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4、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = \sqrt{5}$ ， $E$ 为 $P C$ 的中点，则异面直线 $B E$ 与 $P D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{13}}{39}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{39}$ C、 $- \frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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5、已知集合 $A = \{1, m + 2, m^{2} + 3\}$ ，若 $2 \in A$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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6、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，且 $P D = A D = 2, M$ ， $N, G$ 分别为 $P A, P C, P B$ 的中点，则（）

A、 $D N ⊥ B N$ B、 $C G$ 与 $M N$ 所成角的余弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、点 $G$ 到平面 $P A C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、过点 $M, N, B$ 的平面截四棱锥 $P - A B C D$ 的截面面积为 $\frac{\sqrt{13}}{3}$

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7、若圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 8$ 上存在两个点到直线 $l : x + y + m = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，则实数m的取值范围是（）

A、 $- 6 < m < - 2$ B、 $- 10 < m < - 2$ C、 $- 2 < m < 2$ 或. $- 10 < m < - 6$ D、 $m < - 6$ 或 $m > - 2$

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8、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $M, N$ 分别是棱 $C C_{1}, C_{1} D_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $M N$ 与直线 $A D_{1}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ B、直线 $M N$ 与平面 $A B_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、点 $A$ 到平面 $B_{1} M N$ 的距离为 $\sqrt{6}$ D、三棱锥 $C_{1} - B_{1} M N$ 的外接球的半径为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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9、若方程 $\frac{x^{2}}{7 - m} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(1, 4)$ C、 $(4, 7)$ D、 $(7, + \infty)$

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10、若圆C的圆心为 $(3, 1)$ ，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 15 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 7 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y - 15 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y - 7 = 0$

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11、 $a, b, c \in R, b > c$ ，下列不等式恒成立的是（）

A、 $a + b^{2} > a + c^{2}$ B、 $a^{2} + b > a^{2} + c$ C、 $a b^{2} > a c^{2}$ D、 $a^{2} b > a^{2} c$

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12、设集合 $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{1, 4\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{1, 2, 4\}$ B、 $\{1, 2, 3, 4\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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13、两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为.

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14、英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（）

A、 $\frac{8}{81}$ B、 $\frac{16}{81}$ C、 $\frac{24}{81}$ D、 $\frac{32}{81}$

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15、过点 $P (2, 3)$ ，且与直线 $3 x + 4 y - 5 = 0$ 垂直的直线方程为（）

A、 $3 x - 4 y - 1 = 0$ B、 $3 x - 4 y + 1 = 0$ C、 $4 x - 3 y - 1 = 0$ D、 $4 x - 3 y + 1 = 0$

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16、已知正实数构成的集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}\} (n \geq 2, n \in N^{*})$

(1)、若定义 $A + A = \{a_{i} + a_{j} |a_{i}, a_{j} \in A\}$ ，当集合 $A + A$ 中的元素恰有 $\frac{n (n + 1)}{2}$ 个数时，称集合 $A$ 具有性质 $P$ .
①当 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{1, 2, 4\}$ 时，判断集合 $A$ ， $B$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；
②设集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}\}$ ，其中数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} > 0$ 且公比为2，判断集合 $A$ 是否具有性质 $P$ 并说明理由.

(2)、若定义 $A + A = \{a_{i} + a_{j} |a_{i}, a_{j} \in A, 且 i \neq j\}$ ，当集合 $A + A$ 中的元素恰有 $\frac{n (n - 1)}{2}$ 个数时，称集合 $A$ 具有性质 $Ω$ .设集合 $A$ 具有性质 $Ω$ 且 $A + A$ 中的所有元素能构成等差数列.问：集合 $A$ 中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.

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17、已知 $x = 2$ 为函数 $f (x) = x {(x - c)}^{2} - \frac{1}{e}$ 的极小值点.

(1)、求 $c$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = \frac{k x}{e^{x}}$ ，若对 $\forall x_{1} \in (0, + \infty)$ ， $\exists x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) - g (x_{2}) \geq 0$ ，求 $k$ 的取值范围.

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18、已知角 $α$ 的始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆 $O$ 交于点 $A (x_{1}, y_{1})$ ，将射线 $O A$ 按逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ 后于单位圆 $O$ 交于点 $B (x_{2}, y_{2})$ ， $f (α) = x_{1} - x_{2}$ ， $g (α) = x_{1} \cdot x_{2}$ .

(1)、若 $α \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (α)$ 的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，当函数 $F (α) = g (α) + m f (α) - \frac{m^{2}}{2}$ 的最大值是 $- \frac{15}{2}$ 时，求 $m$ 的值.

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19、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，分别以 $a$ ， $b$ ， $c$ 为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，已知 $S_{1} - S_{2} + S_{3} = \sqrt{3}$ ， $sin B = \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $sin A sin C = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $b$

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20、记 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{2} - 2$ ， $a_{3} - 4$ ， $a_{4} - 6$ 成等比数列.

(1)、求 $a_{n}$ 和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} S_{n} = 2$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前20项和 $T_{20}$ .

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