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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sin x - \frac{2}{\sin 2 x}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 是以 $π$ 为周期的函数 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $x \in (0, \frac{π}{4}]$ 时， $f (x)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2} - 2$

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2、设实数 $a > 0$ ，若不等式 $a e^{a x} - 1 ⩾ ln \frac{x}{e}$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，则 $a$ 的最小值为（）

A、 $e$ B、 $2 e$ C、 $\frac{1}{e}$ D、 $\frac{1}{2 e}$

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3、如图，边长为2的正方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折叠，使 $\vec{A D} \cdot \vec{B C} = 1$ ，则三棱锥 $D - A B C$ 的体积为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、4

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4、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦点关于渐近线的对称点在双曲线 $E$ 上，则双曲线 $E$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{5}}{12}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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5、已知圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ ，直线 $l : (m + 3) x - (m + 2) y + m = 0$ .则直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{7}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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6、已知向量 $\vec{A B} = (2, 3)$ ， $\vec{A C} = (3, t)$ ，且 $\vec{A B}$ 与 $\vec{B C}$ 夹角不大于 $\frac{π}{2}$ ，则 $t$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{7}{3}, + \infty)$ B、 $[\frac{7}{3}, + \infty)$ C、 $(\frac{7}{3}, \frac{9}{2})$ D、 $(\frac{9}{2}, + \infty)$

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7、将函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后得到曲线 $C$ ，若 $C$ 关于 $y$ 轴对称，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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8、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 1 - 3 i$ ，则复数 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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9、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱长为3， $A B = 2$ ，空间中一点 $P$ 满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A A_{1}} (x, y \in [0, 1])$ ，则（）

A、若 $x = \frac{1}{2}$ ，则三棱锥 $P - A A_{1} C$ 的体积为定值 B、若 $y = \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为3 C、若 $x + y = 1$ ，则 $P B_{1}$ 的最小值为 $\frac{6 \sqrt{13}}{13}$ D、若 $x = y$ ，则点 $P$ 到 $B C$ 的距离的最小值为 $\frac{3}{2}$

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10、设全集为R ，集合 $A = \{x |3 \leq x < 6\}$ ， $B = \{x |2 < x < 9\}$ ．

(1)、分别求 $A \cap B$ ， $(∁_{R} B) \cup A$ ；

(2)、已知 $C = \{x |a < x < a + 1\}$ ，若 $C \cup B = B$ ，求实数a的取值范围．

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11、已知 $x + y = \frac{1}{x} + \frac{4}{y} + 8 (x, y > 0)$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、 $9$ C、 $4 + \sqrt{26}$ D、 $10$

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12、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，右焦点 $F$ 到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $M, N$ 两点， $A (- 1, 0)$ ．求 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的值．

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13、北京时间2024年8月12日凌晨，历经19个比赛日的激烈角逐，第33届奥运会在巴黎落下帷幕，奥运会上互换的“pin”（即奥运徽章）是奥运会期间的一种重要纪念品和文化交流媒介．人们经常能在奥运村、比赛场馆等场所展示和交换自己的奥运徽章，奥运徽章的交换不仅限于运动员中间，还包括观众、媒体、志愿者甚至奥组委人员．中国队的熊猫pin更是受到了各国友人的喜爱，造成了一pin难求的局面．通过市场分析，对熊猫pin而言，某企业每生产x（万件）获利w（x）（万元），且满足 $w (x) = \{\begin{matrix} 20 (x^{2} + 17), 0 < x \leq 2 \\ 500 - \frac{80}{x - 1}, 2 < x \leq 5 \end{matrix}$ .2024年8月该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为 $(20 x + 10)$ 万元．由市场调研分析得知，当前熊猫pin供不应求．记该企业2024年8月优化后的产品的利润为 $f (x)$ （单位：万元）．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当2024年8月优化后的产品产是为多少万件时，该企业8月的利润 $f (x)$ 最大？最大利润是多少？请说明理由．

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14、如图，在空间直角坐标系中有长方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ， $A B = 2$ ， $A D = 4$ ， $A A^{'} = 2$ .

(1)、求 $C^{'}$ 点到平面 $A^{'} B D$ 的距离；

(2)、求平面 $A C^{'} D$ 与平面 $A B D$ 的余弦值.

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15、已知 $\vec{A B} = (1, 2, - 2)$ ， $\vec{A C} = (- \frac{1}{2}, 0, 1)$ ，则点 $B$ 到直线 $A C$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $3$

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16、已知平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (1, - 2, 2)$ ，点 $M$ 在 $α$ 外，点 $N$ 在 $α$ 内，且 $\vec{M N} = (- 1, 2, 1)$ ，则点 $M$ 到平面 $α$ 的距离 $d =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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17、图1是直角梯形ABCD， $A B // D C$ ， $∠ D = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $D C = 3$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $\overset{⃑}{C E} = 2 \overset{⃑}{E D}$ ，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达 $C_{1}$ 的位置，且 $A C_{1} = \sqrt{6}$ ，如图2．
（1）求证：平面 $B C_{1} E ⊥$ 平面ABED；
（2）求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A C_{1} D$ 所成角的正弦值．
（3）在棱 $D C_{1}$ 上是否存在点P，使得二面角 $P - E B - C_{1}$ 的平面角为 $45 °$ ？若存在，求出线段 $C_{1} P$ 的长度，若不存在说明理由．

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18、在平面直角坐标系中，曲线 $y = x^{2} - 6 x + 1$ 与坐标轴的交点都在圆C上.
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线 $x - y + a = 0$ 交于A，B两点，且 $O A ⊥ O B$ ，求a的值.

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19、如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 在棱 $A A_{1}$ 上，且 $A E = 1$ .

(1)、求平面 $A D D_{1} A_{1}$ 与平面 $B_{1} D E$ 夹角的余弦值；

(2)、若点 $P$ 在棱 $D_{1} C_{1}$ 上，且 $P$ 到平面 $B_{1} D E$ 的距离为 $\frac{\sqrt{26}}{2}$ ，求 $P$ 到直线 $E B_{1}$ 的距离.

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20、已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ ， O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.

(1)、若点P运动到 $(1, 3)$ 处，求此时切线l的方程；

(2)、求满足条件 $|P M| = |P O|$ 的点P的轨迹方程．

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