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相关试卷

1、布罗卡尔点（Brocard’s point）是三角形几何中的一个特殊点.罗卡尔点的发现可以追溯到1816年.由德国数学家克雷尔（A.L.Crelle）首次发现，但当时并未受到广泛关注.直到1875年，法国军官布罗卡尔重新发现了这个点，并用自己的名字命名，从而引起了数学界的广泛关注.它的定义是：若 $△ A B C$ 内一点P满足 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A$ ，则称P为 $△ A B C$ 的布罗卡尔点.若设 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = θ$ ，则称 $θ$ 为布罗卡尔角.已知 $△ A B C$ 中， $a = \sqrt{3}$ ， $A = \frac{π}{6}$ ，若P为 $△ A B C$ 的布罗卡尔点，并记 $△ P A B$ 、 $△ P B C$ 、 $△ P A C$ 的外接圆面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，则 $S_{1} S_{2} S_{3} =$ .

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2、当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用 $I_{D} = I_{0} e^{- K D}$ 表示其总衰减规律，其中 $K$ 是消光系数， $D$ （单位：米）是海水深度， $I_{D}$ （单位：坎德拉）和 $I_{0}$ （单位：坎德拉）分别表示在深度 $D$ 处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的 $40 %$ ，则该海域消光系数 $K$ 的值约为（）
（参考数据： $ln 2 \approx 0.7, ln 5 \approx 1.6$ ）

A、0.2 B、0.18 C、0.1 D、0.14

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3、某电路由 $A, B, C$ 三种部件组成（如图），若在某段时间内 $A, B, C$ 正常工作的概率分别为 $\frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}$ ，则该电路正常运行的概率为.

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4、解下列方程和不等式：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 8=0$

(2)、 $6 x^{2} + 5 x - 6 > 0$

(3)、 $(5 - x) (x + 4) \geq 18$

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5、设全集 $A = {x \in N ∣ x < 3}, B = \{0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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6、已知某中学的3个年级各有学生300，300，400人，现采用分层抽样的方法从3个年级的学生中抽取10人，对他们的体重进行了统计．若3个年级被抽到的学生体重的平均值分别为48，52，55kg，方差分别为4，10，1．将这10名学生体重W（kg）作为样本，则样本的方差为．

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7、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）

A、若 $A = 45 °$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 有两解 B、若 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 是钝角三角形 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\sin A > \cos B$ D、若 $\frac{a}{\cos B} = \frac{b}{\cos A}$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形

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8、已知偶函数 $f (x)$ 和奇函数 $g (x)$ 均为幂函数. $h (x) = \ln k x$ ，且 $f (2) g (3) > f (3) g (2)$ .

(1)、若 $u (x) = f (x) + g (x)$ ，证明： $u (- \frac{1}{2}) > 0$ ；

(2)、若 $u (x) = f (x) - h (x)$ ， $f (2) = 4$ ，当 $k > 0$ 且函数 $u (x)$ 有两个零点时，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $u (x) = g (x) h (x)$ ， $f (2) = 1$ ， $k = \ln g (e)$ ，证明： $u (x)$ 在区间 $(\frac{1}{e}, + \infty)$ 单调递增.

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9、在直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时， $|M N| = 8$ .

(1)、求C的方程；

(2)、设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若 $|Q R| \leq 3$ ，求 $△ M N Q$ 面积的取值范围.

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10、如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $\cos B = \frac{1}{3}$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上．
(Ⅰ) 若 $∠ A D C = \frac{3 π}{4}$ ，求 $A D$ 的长；
（Ⅱ）若 $B D = 2 D C$ ， $Δ A C D$ 的面积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ ，求 $\frac{\sin ∠ B A D}{\sin ∠ C A D}$ 的值．

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11、若直线 $y = a x + b$ 与曲线 $y = e^{x}$ 相切，则 $a + b$ 的取值范围为.

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12、 ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$ 展开式中的常数项为．

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13、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2, E ､ F$ 分别为棱 $A A_{1}, A_{1} D_{1}$ 的中点，则（）

A、三棱锥 $A_{1} - B E F$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ B、 $E F$ 与 $B C$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ C、过 $B, E, F$ 三点的平面截正方体所得截面图形为等腰梯形 D、平面 $B E F$ 与平面 $A B C D$ 夹角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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14、若函数 $f (x) = sin(ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有一个零点， $f (\frac{π}{4}) = 1$ ，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、2

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15、在圆台 $O_{1} O_{2}$ 中，圆 $O_{2}$ 的半径是圆 $O_{1}$ 半径的2倍，且 $O_{2}$ 恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（）

A、 $3 : 4$ B、 $1 : 2$ C、 $3 : 8$ D、 $3 : 10$

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - 2 x, & x \leq 1 \\ 1 - |x - 3|, & x > 1 \end{matrix}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) - f (1 - a) = 0$ 至少有两个不同的实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 4] \cup [\sqrt{2}, + \infty)$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $(- 4, \sqrt{2})$ D、 $[- 4, \sqrt{2}]$

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17、已知向量 $\vec{a} = (1, - \sqrt{3})$ ，向量 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{a}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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18、命题“ $\forall x \in R, x^{2} - 2 x + 4 \geq 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 4 \geq 0$ B、 $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 4 < 0$ C、 $\forall x \notin R, x^{2} - 2 x + 4 \geq 0$ D、 $\exists x \notin R, x^{2} - 2 x + 4 < 0$

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19、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长都是1， $∠ B A D = 90 °, ∠ D A A_{1} = ∠ B A A_{1} = 60 °, M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点.设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{B M}$ ，并求 $|\vec{B M}|$ 的值；

(2)、求 $\vec{B M} \cdot \vec{A C_{1}}$ 的值.

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20、设函数 $f (x) = e^{x}, g (x) = \ln x$ ．

(1)、已知 $e^{x} \geq k x \geq \ln x$ 对任意 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，求实数k的取值范围；

(2)、已知直线l与曲线 $f (x), g (x)$ 分别切于点 $(x_{1}, f (x_{1})), (x_{2}, g (x_{2}))$ ，其中 $x_{1} > 0$ ．
①求证： $e^{- 2} < x_{2} < e^{- 1}$ ；
②已知 $(λ x_{2} - x + 1) e^{x} + x \leq 0$ 对任意 $x \in [x_{1}, + \infty)$ 恒成立，求 $λ$ 的最大值．

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