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相关试卷

1、解答下列各题．

(1)、若正实数x，y满足 $x + y = 1$ ，求 $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y}$ 的最小值；

(2)、设 $x > - 1$ ，求 $\frac{(x + 3) (x + 4)}{x + 1}$ 的最小值．

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2、设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ 1 \leq x \leq 5}$ ，集合 $B = {x ∣ - 1 - 2 a \leq x \leq a - 2}$

(1)、若 $a = 4$ ，求 $A \cup B 、 A \cap (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数a的取值范围；

(3)、若 $B \subseteq A$ ，求实数a的取值范围．

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3、设集合 $A = \{x |x^{2} - 8 x + 12 = 0\}, B = \{x |x^{2} + 2 (a + 1) x + a^{2} - 13 = 0\}$ ．

(1)、若 $A \cap B = {2}$ ，求实数a的值；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数a的取值范围.

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4、关于x的方程 $k x^{2} + (k + 2) x + \frac{k}{4} = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求k的取值范围；

(2)、是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

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5、已知集合 $A = \{(x, y) |4 x + y = 6\}, B = \{(x, y) |x - y = 4\}$ ，则 $A \cap B =$ ．

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6、已知 $x > 0$ ， $A = x - 2$ ， $B = - \frac{1}{x}$ ，则 $A$ 与 $B$ 的大小关系是（）

A、 $A \geq B$ B、 $A \leq B$ C、 $A > B$ D、 $A < B$

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7、若方程 $2 x^{2} + a x - 1 = 0$ 的一根为1，则另一根为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8、已知集合 $A = \{a \in N| \frac{6}{a - 1} \in N\}$ ， $B = \{2, 3\}$ ，集合 $C$ 满足 $B \subseteq C \subseteq A$ ，则所有满足条件的集合 $C$ 的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9、已知集合 $A = {1, 2, 3, 4}$ ，集合 $B = {y ∣ y = \sqrt{x}, x \in A}$ ，则 $A \cap B$ 的子集个数是（）

A、 $16$ B、 $8$ C、 $4$ D、 $2$

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10、下列四个写法：① $\{0\} \in \{1, 2, 3\}$ ；② $\emptyset \subseteq \{0\}$ ；③ $\{0, 1, 2\} \subseteq \{1, 2, 0\}$ ；④ $0 \in \emptyset$ .错误写法的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 解集为 $\{x |- 2 < x < 3\}$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $a < 0$ B、不等式 $a x + c > 0$ 的解集为 $\{x |x < 6\}$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $\{x |\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}\}$

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12、长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组 $[40, 50)$ ，第2组 $[50, 60)$ ，第3组 $[60, 70)$ ，第4组 $[70, 80)$ ，第5组 $[80, 90)$ ，第6组 $[90, 100]$ ，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题：

(1)、根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率.

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13、已知直线 $l$ 经过点 $A (1, 2)$ ，求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）：

(1)、直线 $l$ 与直线 $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1$ 平行；

(2)、直线 $l$ 与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4；

(3)、直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等．

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14、“ $a = 2$ ”是“直线 $a x + 2 y + 1 = 0$ 和直线 $3 x + (a + 1) y - 2 = 0$ 平行”的条件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”或“既不充分又不必要”)

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15、若直线 $k x - y - 2 k + 3 = 0$ 必过一定点，则该定点坐标是．

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} ln (- x), x < 0 \\ e^{- x}, x \geq 0 \end{matrix}$ ，若关于 $x$ 的方程 $m - f (x) = 0$ 有两个不同的实数根，则实数 $m$ 的值可能是（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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17、如图所示，设 $E$ ， $F$ 分别是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $C D$ 上两点，且 $E$ ， $F$ 与 $C$ ， $D$ 两点均不重合，且 $A B = 2$ ， $E F = 1$ ，其中正确的命题为（）

A、三棱锥 $D_{1} - B_{1} E F$ 的体积为定值 B、异面直线 $B_{1} D_{1}$ 与 $E F$ 所成的角为 $60^{\circ}$ C、 $B_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} E F$ D、直线 $B_{1} D_{1}$ 与平面 $B_{1} E F$ 所成的角为 $30^{\circ}$

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18、已知直线 $l : (a^{2} + a + 1) x - y + 2 = 0$ ，其中 $a \in R$ ，则（）

A、直线 $l$ 过定点 $(0, 2)$ B、当 $a = - 1$ 时，直线 $l$ 与直线 $x + y = 0$ 垂直 C、当 $a = 0$ 时，直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等 D、若直线 $l$ 与直线 $x - y = 0$ 平行，则这两条平行直线之间的距离为 $\sqrt{2}$

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19、函数 $f (x) = cos (x + \frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} sin x$ 的最大值为（）

A、 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、0

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20、已知函数 $f (x) = 3 - x - \frac{2}{x}$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 有（）

A、最大值 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、最小值 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、最大值 $3 - 2 \sqrt{2}$ D、最小值 $3 - 2 \sqrt{2}$

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