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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} f (x - 2), x \geq 0 \\ 2 x^{2} - 3 x, x < 0 \end{array}$ ，则 $f (f (1)) =$ （）

A、 $14$ B、 $5$ C、1 D、 $- 1$

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2、函数 $y = \frac{\sqrt{4 - |x|}}{x}$ 的定义域是（）

A、 $[- 2, 2]$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $[- 2, 0) \cup (0, 2]$ D、 $[- 4, 0) \cup (0, 4]$

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3、已知集合 $A = \{x |- 1 < x < 5\}$ ， $B = \{x |x \geq 0\}$ ，则图中阴影部分表示的集合为

A、 $\{x |- 1 < x < 0\}$ B、 $\{x |0 < x < 5\}$ C、 $\{x |0 \leq x < 5\}$ D、 $\{x |x > - 1\}$

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4、为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格.

(1)、求 $m$ 的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀.

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5、根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹一样多的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{11}{81}$ C、 $\frac{17}{81}$ D、 $\frac{2}{9}$

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6、已知一组数据： $3, 5, 7, x, 9$ 的平均数为6，则该组数据的 $40 %$ 分位数为（）

A、4.5 B、5 C、5.5 D、6

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7、近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供 $x (x \in (0, 20])$ （万元）的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府 $x$ （万元）补贴后，产量将增加到 $t = (x + 3)$ （万件）.同时波司登制衣有限公司生产 $t$ （万件）产品需要投入成本为 $(7 t + \frac{81}{t} + 3 x)$ （万元），并以每件 $(8 + \frac{42}{t})$ 元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本.

(1)、求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益 $y$ （万元）关于政府补贴 $x$ （万元）的表达式；

(2)、高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益 $y$ （万元）最大？

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8、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{x + 1}{x}, x < 0 \\ \frac{3 x}{e^{x}}, x \geq 0 \end{array}$ ，关于x的方程 $f^{2} (x) - m |f (x)| = 0 (m \in R)$ ，则下列正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为R B、函数 $f (x)$ 的单调减区间为 $(- \infty, 0), [1, + \infty)$ C、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，则方程有4个不相等的实数根 D、若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是 $(\frac{3}{e}, + \infty)$

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9、已知平面向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 满足： $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 2$ ，且 $\vec{m}$ 在 $\vec{n}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{n}$ ，则向量 $\vec{m}$ 与向量 $\vec{n} - \vec{m}$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{2}{3} a_{n} + 4$ ，且 $a_{1} = 1$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为（）

A、 $a_{n} = 12 - {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$ B、 $a_{n} = {(\frac{2}{3})}^{n + 2}$ C、 $a_{n} = 12 - 11 \times {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$ D、 $a_{n} = 8 + {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

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11、已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{2}$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{4}$ ．

(1)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、若 $(k \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求实数k的值．

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12、若椭圆焦点在 $x$ 轴上且经过点 $(- 4, 0)$ ，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{7} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

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13、对于四个正数m、n、p、q，若满足 $m q < n p$ ，则称有序数对 $(m, n)$ 是 $(p, q)$ 的“下位序列”．

(1)、对于2、3、7、11，有序数对 $(3, 11)$ 是 $(2, 7)$ 的“下位序列”吗？请简单说明理由；

(2)、设a、b、c、d均为正数，且 $(a, b)$ 是 $(c, d)$ 的“下位序列”，试判断 $\frac{a}{b}$ 、 $\frac{c}{d}$ 、 $\frac{a + c}{b + d}$ 之间的大小关系；

(3)、设正整数n满足条件：对集合 $\{m |0 < m < 2024, m \in N\}$ 内的每个m，总存在正整数k，使得 $(m, 2024)$ 是 $(k, n)$ 的“下位序列”，且 $(k, n)$ 是 $(m + 1, 2025)$ 的“下位序列”，求正整数n的最小值．

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14、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 分别是侧棱 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 的中点， $A B ⊥ B C$ ， $A_{1} C ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ .

(1)、求证：平面 $A_{1} B_{1} C ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、如果 $A_{1} C = B_{1} C$ ， $A B = B C = 4$ ，求二面角 $A_{1} - B B_{1} - C$ 的余弦值.

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15、已知向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (λ, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，若向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量 $\vec{c} = (\frac{1}{2}, 0)$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、1

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16、若复数z满足 $(1 - 3 i) z = 3 - i$ （i为虚数单位），则z的模 $|z| =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、1 C、 $\sqrt{10}$ D、5

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17、若直线 $(m^{2} - 6) x + 3 y = m$ 与直线 $x + y = 1$ 平行，则（）

A、 $m = 3$ 或 $- 3$ B、 $m = - 3$ C、 $m = 3$ D、 $m = \sqrt{3}$ 或 $- \sqrt{3}$

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18、下列函数的最小值为2的有（）

A、 $y = x^{2} - 2 x + 2, x \in [0, 8]$ B、 $y = \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1}, x \in (1, 4]$ C、 $y = \frac{1}{4 x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - 2 x}, x \in (0, \frac{1}{2})$ D、 $y = \sqrt{x^{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}, x \in R$

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19、某种商品原来每件售价为 $25$ 元，年销售 $8$ 万件．

(1)、据市场调查，若价格每提高 $1$ 元，销售量将相应减少 $2000$ 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？

(2)、为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到 $x$ 元，公司拟投入 $\frac{1}{6} (x^{2} - 600)$ 万元作为技改费用，投入 $50$ 万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量 $a$ 至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和 $?$ 并求出此时每件商品的定价．

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20、如果向量 $\vec{a} = (2, - 1, 3) ， \vec{b} = (- 1 ， 2, - 3)$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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