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相关试卷

1、 $2024$ 年 $10$ 月 $29$ 日，小米 $SU 7 Ultra$ 量产版正式面世，同时也代表了我国新能源汽车的蓬勃发展，向世界证明了我国新能源与高分子材料的研发实力，再次为人民的日常生活带来了便利，该新能源跑车的轮毂均采用碳纤维材料，而生产特质的碳纤维轮毂需要专门的设备来进行．已知某企业生产这种设备的最大产能为 $100$ 台．每生产 $x$ 台，年度总利润为 $S (x)$ （单位；万元），且 $S (x) = \{\begin{array}{l} - 2 x^{2} + 140 x - 200, 0 < x \leq 40 \\ - x - \frac{3600}{x} + 1700, 40 < x \leq 100 \end{array}$ .

(1)、当产能不超过 $40$ 台时，求生产多少台时，每台的平均利润最大；

(2)、当生产该设备为多少台时，该企业所获年度利润最大？最大利润是多少？

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2、计算下列各式的值：

(1)、 $(\log_{4} 3 + \log_{8} 3) (\log_{3} 2 + \log_{9} 2) + \log_{3} \sqrt[4]{27} - 2^{\log_{2} 5}$

(2)、设 $\log_{3} 2 = a$ ， $\log_{3} 5 = b$ ，用a，b表示 $\log_{15} 20$ ；

(3)、已知 $9^{m} = 8^{n} = 24$ ，试求 $\frac{1}{2 m} + \frac{1}{n}$ 的值.

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3、函数 $f (x)$ 与 $g (x) = a^{x}$ 互为反函数，且 $f (x)$ 的图像过点 $(10, 1)$ ，则 $f (100) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $3$

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4、若函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在各自定义域内均能取得最大值，且最大值相等，则称 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 为“等峰函数”．

(1)、证明函数 $y = 2 sin x cos x - \sqrt{3} cos 2 x, x \in R$ 与 $y = x - \frac{sinπ x}{π}, x \in [0, 2]$ 是“等峰函数”；

(2)、已知 $f (x) = \frac{ln x}{x^{a}}$ 与 $g (x) = \frac{x^{a}}{e^{x}} (x > 0)$ 为“等峰函数”．
①求实数a的值；
②判断命题：“ $\exists x_{0}, x_{1}, x_{2} \in R, f (x_{1}) = f (x_{0}) = g (x_{2})$ ，且 $x_{1} x_{2} = x_{0}^{2}$ ”的真假，并说明理由．

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5、甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色外，其他均相同．现从甲乙两袋中各自任取一个球，且交换放入另一袋中，重复进行n次这样的操作后 $(n \in N^{*})$ ，记甲袋中的白球数为 $X_{n}$ ，甲袋中恰有一个白球的概率为 $p_{n}$

(1)、求 $p_{1}, p_{2}$ ；

(2)、求 $p_{n}$ 的解析式；

(3)、求 $E (X_{n})$ ．

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6、已知函数 $f (x) = {log}_{\frac{5}{4}} (- x^{2} + 2 λ x + 1)$ 的定义域为 $D$ ， $g (x) = \frac{x - λ}{x^{2} + 1}$

(1)、若 $λ = \frac{3}{4}$ ，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若 $D = (m, n)$ ，且 ${[g (m) - g (n)]}^{2} \leq 10$ ，求实数 $λ$ 的取值范围．

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7、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a = 6, △ A B C$ 的面积 $S = c^{2} sin A$

(1)、若 $cos A = \frac{1}{4}$ ，求b的值；

(2)、求内角C取得最大值时 $△ A B C$ 的面积.

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8、平面向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 满足 $|\vec{e_{1}}| = |\vec{e_{2}}| = 1, ⟨\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}⟩ = \frac{π}{2}, \vec{a} = \vec{e_{1}} + t \vec{e_{2}}, \vec{b} = t \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$

(1)、若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量恰为 $\vec{a}$ 的相反向量，求实数t的值；

(2)、若 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 为钝角，求实数t的取值范围．

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9、若关于 $x$ 的方程 $ln x + |1 + \frac{m}{x}| = 1$ 有且仅有两个实根，则实数 $m$ 的取值范围为

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10、已知 $sin (α + β) = \frac{2}{3}$ ， $tan α = 3 tan β$ 则 $c o s (2 α - 2 β) =$

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11、某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为

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12、已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + m x - 3$ ，则（）

A、当 $m \leq 3$ 时，函数 $f (x)$ 有两个极值 B、过点 $(0, 1)$ 且与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线有且仅有一条 C、当 $m = 1$ 时，若 $b$ 是 $a$ 与 $c$ 的等差中项，直线 $a x - b y - c = 0$ 与曲线 $y = f (x)$ 有三个交点 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2}), R (x_{3}, y_{3})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - 6$ D、当 $m = 0$ 时，若 $- 1 < x < - \frac{1}{2}$ ，则 $- 3 < f (x) < f (\frac{3}{2} x - \frac{1}{4}) < 1$

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13、定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (y) = f (\frac{x + y}{2}) f (\frac{x - y}{2}), f (1) = 1$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (0) = 2$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、6是 $f (x)$ 的一个周期 D、 $\sum_{k = 0}^{2024} f^{2} (\frac{k}{2}) = 4052$

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14、下列结论正确的是（）

A、随机变量X服从二项分布 $B (3, \frac{1}{2}), Y = 2 X + 1$ ，则 $D (Y) = 3$ B、数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ 的平均数为2，则 $3 x_{1} + 1, 3 x_{2} + 1, 3 x_{3} + 1, \dots, 3 x_{n} + 1$ 的平均数为6 C、数据2，4，6，8，10，12，14的第60百分位数是10 D、随机变量X服从正态分布 $N (5, σ^{2})$ ，且 $P (2 < X < 5) = a$ ，则 $P (X > 8) = 1 - a$

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15、设 $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点，O为坐标原点，P为 $C$ 的一条渐近线上一点，且 $|\vec{P F_{1}} + \vec{P O}| = |\vec{P F_{1}} - \vec{P O}|$ ，若 $|\vec{P F_{1}}| = 2 |\vec{P O}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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16、函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2^{x}, - 1 < x < 1 \\ 3^{x} - m, x \geq 1 \end{cases}$ 单调递增，且 $f (2 m + 1) > f (m - 1)$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, 1]$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 1)$

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17、设 ${(1 + a x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5}$ 满足 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{5} = - 2$ ，则 $a_{2} + a_{4} =$ （）

A、120 B、 $- 120$ C、40 D、 $- 40$

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18、底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = n^{2} + k n$ ，且 $a_{3} = 6$ ，则数列 $\{\frac{1}{S_{n}}\}$ 的前 $10$ 项和为（）

A、 $\frac{9}{10}$ B、 $\frac{10}{9}$ C、 $\frac{10}{11}$ D、 $\frac{11}{10}$

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20、生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为： $\hat{y} = - \frac{5}{2} x + 44$ ，但由于保存不妥，丢失了一个数据（表中用字母m代替），则（）
温度 $x$ （ $° C$ ）
$6$
$8$
$10$
病毒数量 $y$ （万个）
$30$
$22$
$m$

A、 $m = 19$ B、 $m = 20$ C、 $m = 21$ D、m的值暂时无法确定

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温度 $x$ （ $° C$ ）	$6$	$8$	$10$
病毒数量 $y$ （万个）	$30$	$22$	$m$