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相关试卷

1、已知直线 $l : 2 m x + (m + 1) y + 3 m - 1 = 0 (m \in R)$ ，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ .

(1)、求证：对于任意实数 $m$ ，直线 $l$ 过定点 $P$ ，并求出点 $P$ 坐标；

(2)、当 $m = 1$ 时，求直线 $l$ 被椭圆 $C$ 截得的弦长.

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2、已知 $△ A B C$ 的顶点分别为 $A (1, 3)$ ， $B (- 1, - 3)$ ， $C (- 3, 2)$ ，求：

(1)、直线 $A B$ 的方程；

(2)、 $A B$ 边上的高所在直线的方程.

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3、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - a \cdot 2^{- x}}{2^{x} + 2^{- x}}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $y = f (x)$ 的单调性并证明.

(3)、求 $f (x)$ 的值域.

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4、函数 $y = f (x)$ 的定义域为D，若存在正实数k，对任意的 $x \in D$ ，总有 $| f (x) - f (- x) | \leq k$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $P (k)$ .

(1)、分别判断函数 $f (x) = 2024$ 与 $g (x) = x$ 是否具有性质 $P (1)$ ，并说明理由；

(2)、已知 $y = f (x)$ 为二次函数，且具有性质 $P (2)$ ，判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、已知 $a > 1$ ， k为给定的正实数，若函数 $f (x) = \log_{2} (4^{x} + a) - x$ 具有性质 $P (k)$ ，求a的取值范围.

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5、已知 $f (x) = sin (x + \frac{π}{3}) cos x + \frac{1}{2} sin (2 x + \frac{π}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $a f (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6}) - f (\frac{1}{2} x + \frac{π}{12}) \geq 2$ 对任意的 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ 恒成立，求a的取值范围；

(3)、已知函数 $g (x) = f (\frac{π}{8} x - \frac{π}{3})$ ，记方程 $g (x) = \frac{1}{3}$ 在区间 $[0, 21]$ 上的根从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，求 $x_{3} + 2 x_{4} + \dots + 2 x_{n - 1} + x_{n}$ 的值.

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6、设函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x}} - 1$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求方程 $| f (x) | = \frac{1}{2}$ 的实数解；

(2)、当 $a = - 1$ 时，
（ⅰ）存在 $t \in [1, 2]$ ，使不等式 $f (t^{2} - 2 t) - f (2 t^{2} - k) > 0$ 成立，求k的范围；
（ⅱ）设函数 $g (x) = 2 x + b$ ，若对任意的 $x_{1} \in [0, 1]$ ，总存在 $x_{2} \in [0, 1]$ ，使 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数b的取值范围.

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7、已知函数 $f (x) = x^{2} + (\frac{1 - 2 a}{a b}) x - \frac{2}{a}$ ， $a \neq 0$ ， $b \neq 0$ .

(1)、当 $b = 1$ ，且 $a < 0$ 时，解关于x的不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、若 $a > 2$ ， $b > 2$ ， $f (1) = 0$ ，求 $a + b$ 的最小值.

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8、已知 $α$ ， $β$ 为锐角， $\tan α = 2$ ， $\sin (α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

(1)、求 $\cos 2 α$ 的值；

(2)、求 $\tan β$ 的值.

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9、已知函数 $y = \sqrt{2} \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 和 $y = \sqrt{2} \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象相邻的两个交点为A，B，若 $\frac{5}{2} < |A B| \leq 2 \sqrt{2}$ ，则 $ω$ 的取值范围为.

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10、已知函数 $f (x) = \log_{a} (4 - a x) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在区间 $[0, 1]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是.

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11、若命题“ $\exists x \in [0, 1]$ ，使得 $2^{x} - a \geq 0$ ”为真命题，则实数a的取值范围是.

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 1 - | 2 x - 3 |, 1 \leq x \leq 2, \\ \frac{1}{2} f (\frac{x}{2}), x > 2, \end{matrix}$ 则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x) - \frac{1}{6} x$ 有3个零点 B、关于x的方程 $f (x) - \frac{1}{2^{n}} = 0 (n \in N^{*})$ 有 $2 n + 4$ 个不同的解 C、对于实数 $x \in [1, + \infty)$ ，不等式 $2 x f (x) - 3 \leq 0$ 恒成立 D、在区间 $[2^{n - 1}, 2^{n}] (n \in N^{*})$ 内，函数 $f (x)$ 的图象与x轴围成的图形的面积为 $\frac{1}{2}$

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13、若实数a，b满足 $a^{2} + b^{2} - n a b = 9$ ， $n \in R$ ，则下列说法正确的为（）

A、当 $n = 1$ 时， $a^{2} + b^{2}$ 的最大值为18 B、当 $n = 1$ 时， $a + b$ 的最小值为 $- 6$ C、当 $n = 3$ 时，ab的最小值为 $- 9$ D、当 $n = 3$ 时， $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{18}{5}$

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14、若集合 $A = \{(m, n) |m \leq - 2, 0 < n \leq t\}$ ， $\forall (m, n) \in A$ ，均有 $m \log_{4} n - n - 3 m \geq 0$ 恒成立，则t的最大值为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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15、在直角坐标系中，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角 $α$ （ $0 < α < \frac{π}{2}$ ）交单位圆于点A、顺时针旋转角 $β$ （ $\frac{π}{4} < β < \frac{π}{2}$ ）交单位圆于点B，若点A的纵坐标为 $\frac{12}{13}$ ，且 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则点B的纵坐标为（）

A、 $- \frac{17 \sqrt{2}}{26}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{26}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{13}$

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16、若关于x的不等式 $x^{2} - (m + 1) x + 9 \leq 0$ 在区间 $[1, 4]$ 上有解，则实数m的最小值为（）

A、9 B、6 C、 $\frac{21}{4}$ D、5

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17、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递减，设 $a = {0.3}^{2}, b = {log}_{2} 0.3, c = 2^{0.3}$ ，则（）

A、 $f (a) < f (c) < f (b)$ B、 $f (b) < f (a) < f (c)$ C、 $f (c) < f (a) < f (b)$ D、 $f (c) < f (b) < f (a)$

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18、已知集合 $A = {- 1, 1, 2, 4}$ ， $B = \{x |x^{2} - 4 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 2}$ B、 ${- 1, 1}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${- 1, 1, 2}$

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19、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上， $O M = 2 M A$ ，点 $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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20、我们知道复数有三角形式 $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ ，其中 $r$ 为复数的模， $θ$ 为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若 $\vec{O Z_{1}} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ ， $\vec{O Z_{2}} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ ，则 $r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1}) \cdot r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2}) = r_{1} r_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2})]$ . 其几何意义是把向量 $\vec{O Z_{1}}$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转角 $θ_{2}$ （如果 $θ_{2} < 0$ ，就要把 $\vec{O Z_{1}}$ 绕点 $O$ 按顺时针方向旋转角 $|θ_{2}|$ ），再把它的模变为原来的 $r_{2}$ 倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形 $O A B C$ ，其边长为 $1$ ， $∠ A O C = 120^{\circ}$ ，点 $A, B, C$ 所对应的复数分别为 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ .

(1)、若 $z_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ ，求出 $z_{2}$ ， $z_{3}$ ；

(2)、如图，若 $P (3, 0)$ ，以 $P A$ 为边作正方形 $A P M N$ .
（ⅰ）若 $M, N$ 在 $A P$ 下方，是否存在复数 $z_{1}$ 使得 $O M$ 长度为 $\sqrt{19 - 6 \sqrt{2}}$ ，若存在，求出复数 $z_{1}$ ；若不存在，说明理由；
（ⅱ）若 $M, N$ 在 $A P$ 上方，且向量 $\sqrt{x y} \vec{P M} = x \vec{O A} + y \vec{O C}$ ，求证： $5 \leq \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \leq 8$ .

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