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相关试卷

1、已知点 $P$ 是直线 $l : 3 x + 4 y - 7 = 0$ 上的动点，过点 $P$ 引圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的两条切线 $P M, P N,$ $M, N$ 为切点，当 $∠ M P N$ 的最大值为 $90^{\circ}$ ，则 $r$ 的值为（）

A、4 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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2、设 $a, b \in R$ ，则“ $\{\begin{array}{l} a + b > 2 \\ a b > 1 \end{array}$ ”是“ $a > 1$ 且 $b > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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3、已知集合 $A = \{x | 1 \leq x < 5\}, B = \{x | 3 < x \leq 7\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x | 1 \leq x \leq 7\}$ B、 $\{x | 3 < x < 5\}$ C、 $\{x | 3 \leq x \leq 5\}$ D、 $\{x | 1 < x \leq 7\}$

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4、记为 $[m]$ 为不超过m的最大整数，设函数 $f (x) = \frac{a^{x}}{1 + a^{x}}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），求 $y = [f (x) - \frac{1}{2}] + [f (- x) - \frac{1}{2}]$ 的值域.

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5、定义在 $(- 1, 1)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x, y \in (- 1, 1)$ ，都有 $f (y) - f (x) = f (\frac{y - x}{1 - x y})$ ，且当 $x \in (- 1, 0)$ 时， $f (x) < 0$ .

(1)、求证： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、判断 $f (\frac{1}{2}) + f (- \frac{1}{3})$ 的正负，并说明理由.

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6、 $10^{1 - lg 2} + ln \frac{1}{\sqrt{e}} + {log}_{4} 7 \cdot {log}_{7} 8 =$ .

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7、下列为真命题的是（）

A、函数 $y = x + \frac{1}{x} (x \neq 0)$ 的最小值为2 B、函数 $y = x + \frac{1}{x - 1} (x > 1)$ 的最小值为3 C、函数 $y = 3 x - \frac{4}{x} (x \leq - 1)$ 的最大值为1 D、函数 $y = \frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x^{2} + 2}} (x \in R)$ 的最小值为2

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8、某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为200万元，每生产 $x$ 台，需另投入生产成本 $f (x)$ 万元，且 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + 10 x, 0 \leq x \leq 15 \\ 71 x + \frac{900}{x + 8} - 752, x > 15 \end{array}$ ，当生产5台时需另投入生产成本75万元.若每台设备售价70万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求该企业投资生产这批新型机器的年利润 $W (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （台）的函数关系式（利润 $=$ 销售额 $-$ 成本）；

(3)、这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.

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9、已知定义域为 $[- 5, 5]$ 的奇函数 $f (x)$ 的图像是一条连续不断的曲线．对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, 5]$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，总有 $\frac{f (x_{2})}{x_{1}} > \frac{f (x_{1})}{x_{2}}$ ，则满足 $(2 m - 1) f (2 m - 1) \leq (m + 4) f (m + 4)$ 的实数 $m$ 的取值范围为．

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10、△ABC的顶点A的坐标为（1，4），∠B，∠C平分线的方程分别为 $x - 2 y = 0$ 和 $x + y - 1 = 0$ .

(1)、求BC所在直线的方程.

(2)、设 $N (3, - 2)$ ，直线 $l$ 过线段 $A N$ 的中点M且分别交 $x$ 轴与 $y$ 轴的正半轴于点P、Q，O为坐标原点，求△ $P O Q$ 面积最小时直线 $l$ 的方程；.

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11、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ．记向量 $\vec{A B} = \vec{a}$ ，向量 $\vec{A D} = \vec{b}$ ，向量 $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ．

(1)、取 $B_{1} C_{1}$ 的中点M，用向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 来表示向量 $\vec{A M}$ ；

(2)、求向量 $\vec{A C_{1}}$ 和向量 $\vec{B A_{1}}$ 所成角的余弦值．

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12、如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 为线段 $B D_{1}$ 上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（）

A、存在点 $M$ ，使得 $C_{1} M ⊥$ 平面 $A_{1} D B$ B、存在点 $M$ ，使得直线 $A M$ 与直线 $B_{1} C$ 所成的角为 $45^{\circ}$ C、存在点 $M$ ，使得三棱锥 $D_{1} - C_{1} D M$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ D、不存在点 $M$ ，使得 $α > β$ ，其中 $α$ 为二面角 $M - A A_{1} - B$ 的大小， $β$ 为直线 $M A_{1}$ 与直线 $A B$ 所成的角

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13、设 $m \in R$ ，若过定点A的动直线 $x + m y - m = 0$ 和过定点B的动直线 $m x - y - m + 3 = 0$ 交于点 $P (x, y)$ ， AB中点为Q，则 $|P Q|$ 的值为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、与m的取值有关

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{2}{9}, - \frac{4}{9}, - \frac{4}{9})$ B、 $(\frac{2}{9}, \frac{4}{9}, \frac{4}{9})$ C、 $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$

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15、已知圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ ，直线 $l : x - 2 y - 8 = 0$ ， $M$ 为圆 $C$ 上一动点， $N$ 为直线 $l$ 上一动点，定点 $P (- 7, - 4)$ ，则 $| M N | + | P N |$ 的最小值为.

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16、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}, B = \{x |- 1 < x < 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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17、下列命题不正确的是（）

A、经过定点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的直线都可以用方程 $y - y_{0} = k (x - x_{0})$ 表示 B、直线 $l$ 过点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，倾斜角为 $90 °$ ，则其方程为 $x = x_{0}$ C、在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程 $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ 来表示 D、直线 $y = x + 2$ 在 $x$ 轴上截距为2

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18、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 2 x - 3 = 0\}$ ， $B = {1, a}$ ，若 $A \cap B = {3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${1, 3}$ B、 ${- 1, 3}$ C、 ${- 1, 1, 3}$ D、 ${- 3, - 1, 3}$

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19、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 5, A D = 3, A A_{1} = 4, P$ 是线段 $B C_{1}$ 上异于 $B, C_{1}$ 的一点，则 $C P + P D_{1}$ 的最小值为.

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20、已知以点 $C (t, \frac{2}{t}) (t > 0)$ 为圆心的圆经过原点 $O$ ，且与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

(1)、求证： $△ A O B$ 的面积为定值．

(2)、设直线 $2 x + y - 4 = 0$ 与圆 $C$ 交于点 $M$ ， $N$ ，若 $|O M| = |O N|$ ，求圆 $C$ 的方程．

(3)、在（2）的条件下，设 $P$ ， $Q$ 分别是直线 $l : x + y + 2 = 0$ 和圆 $C$ 上的动点，求 $|P B| + |P Q|$ 的最小值及此时点 $P$ 的坐标.

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