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相关试卷

1、对于定义域为 $I$ 的函数 $f (x)$ ，如果存在区间 $[a, b] \subseteq I$ ，使得函数 $y = f (x)$ 在x∈ $[a, b]$ 时，值域是 $[k a, k b]$ ，则称 $[a, b]$ 为 $f (x)$ 的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数 $y = f (x)$ 在x∈ $[a, b]$ 时值域是 $[a, b]$ ，则称 $[a, b]$ 为 $f (x)$ 的“完美区间”.

(1)、证明：函数 $f (x) = \frac{9}{2} - \frac{2}{x}$ 在定义域里存在“完美区间”；

(2)、如果二次函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{13}{2}$ 在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a，b；

(3)、是否存在实数 $a, b (b < 2)$ ，使得函数 $f (x) = |(x + \frac{4}{x}) - 5| = m$ ( $x \in (0, + \infty)$ )在区间 $[a, b]$ 单调，且 $[a, b]$ 为 $f (x)$ 的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

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2、函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，我们发现可以推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ 的对称中心是 $P (1, 1)$ B、函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2}$ 的对称中心是 $P (- 1, 2)$ C、类比上面推广结论：函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 成轴对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + 2)$ 为偶函数 D、类比上面推广结论：函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 2$ 成轴对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + 2)$ 为偶函数

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3、设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |x - 1|, x \geq 0 \\ - x^{2} + a x, x < 0 \end{array}$ ，当 $a = 1$ 时，函数 $y = f (f (x))$ 有个零点；若函数 $y = f (f (x))$ 恰有3个零点，则实数 $a$ 的取值范围为．

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4、已知 $a, b$ 为实数，函数 $f (x) = e^{x} - a x + b - 1$ （其中 $e = 2.71828 \dots \dots$ 是自然对数的底数）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若对任意的 $x \in R, f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a + b$ 的最小值.

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5、对于平面凸四边形 $A B C D$ ，若 $\vec{A C} = (4, 3), \vec{B D} = (1, 2)$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{5 \sqrt{5}}{2}$ D、大小不确定

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6、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} + a_{6} + a_{10} = 18$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、36 B、48 C、52 D、66

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7、若a， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a b$ 有最大值 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 有最小值4 C、 $a^{2} + b^{2}$ 有最小值 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 有最小值 $\sqrt{2}$

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8、我们知道函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.

(1)、由上述信息，若 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形，证明： $f (x) + f (2 a - x) = 2 b$ ；

(2)、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ ，写出 $f (x)$ 图象的对称中心，并求 $f (- 2022) + f (- 2021) + \dots + f (0) + f (1) + f (2) + \dots + f (2023) + f (2024)$ 的值.

(3)、若函数 $f (x)$ 具有以下性质：
①定义域为 $D = [- 2, 2]$ ，
② $f (x)$ 在其定义域内单调递增，
③ $\forall x \in D$ ，都有 $f (x) + f (- x) = 4$ .
函数 $g (x) = f (x) + x^{3}$ ，求使不等式 $g (k) + g (k + 2) \geq 4$ 成立的实数 $k$ 的取值范围.

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9、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{a x^{2} - a x + 1}$ 的定义域是 $R$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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10、如图，平面四边形 $A B C D$ 中， $A D = B C = 3$ ， $A B = 4$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ A C$ ，沿 $A C$ 将 $△ A D C$ 折起成直二面角 $P - A C - B$ （折起后原来平面图形的D点变为空间图形的P点），则折起后四面体 $P A B C$ 的内切球半径为．

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11、如图，已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $1$ 的直线 $l$ 经过 $F$ 且交 $C$ 于 $A_{1} 、 B_{1}$ 两点（ $A_{1}$ 在第一象限）.

(1)、求 $A_{1} 、 B_{1}$ 的坐标与 $|A_{1} B_{1}|$ 的长；

(2)、设 $P_{n} (- \frac{n (n + 3)}{2}, 2)$ ，如下构造 $A_{n} 、 B_{n}$ ：直线 $P_{n - 1} B_{n - 1} 、 P_{n - 1} A_{n - 1}$ 分别与 $C$ 交于 $B_{n} 、 A_{n}$ ，证明：
（ⅰ） $B_{n}$ 的纵坐标 $y_{n}$ 是等差数列 $\{y_{n}\}$ ；
（ⅱ） $\forall n \in N^{*}, A_{n} B_{n + 1} / / A_{n + 1} B_{n + 2}$ .

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12、在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{7} A C$ ，点D在BC上，满足 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ， $A D = \sqrt{3}$ ．

(1)、若 $A C = B D$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $∠ A D C$ 余弦值的最小值．

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13、如图，在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中，四边形 $A B C D$ 与四边形 $C D E F$ 均为等腰梯形， $A B$ $∥$ $C D, E F$ $∥$ $C D, C D = 2 A B = 2 E F = 4$ ， $A D = D E = \sqrt{5}, A E = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、证明：平面 $A B C D ⊥$ 平面 $C D E F$ ；

(2)、若 $M$ 为线段 $C D$ 上一点，且 $C M = 1$ ，求二面角 $A - E M - B$ 的余弦值.

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14、如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．
如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知 $A_{1} A_{2}$ 是椭圆的长轴， $P A_{1}$ 垂直于桌面且与球相切， $P A_{1} = 5$ ，则椭圆的离心率为．

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15、函数 $y = f (x)$ 的图象与 $y = 2^{x}$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称，则函数 $y = f (\sin x)$ 的递减区间是．

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16、 $\sqrt{{(π - 8)}^{2}} - 4^{{l o g}_{2} 3} + {l o g}_{3} 7 \cdot {l o g}_{7} 9 - {l o g}_{15} 5 - {l o g}_{15} 3$ 的值为．

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17、对于一元三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 图象上任一点 $M$ ，若 $f (x)$ 在点 $M$ 处的切线与 $f (x)$ 的图象交于另一点 $N$ ，则称 $N$ 为 $M$ 的“伴随割点”，关于“伴随割点”，下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 图象上所有点都有“伴随割点” B、若点 $(x_{0}, y_{0})$ 的“伴随割点”为点 $(x_{1}, y_{1})$ ，则 $2 x_{0} + x_{1} = - \frac{b}{a}$ C、若 $f (x)$ 的图象上存在一点与其“伴随割点”关于原点对称，则 $d = - \frac{b^{3}}{a^{2}}$ D、若 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴的交点分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，它们的“伴随割点”存在且分别为 $D$ ， $E$ ， $F$ ，则 $D$ ， $E$ ， $F$ 三点共线

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18、如图所示，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为棱 $A_{1} D_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点，则以下四个结论正确的是（）

A、 $B_{1} C / / M N$ B、点 $A$ 到平面 $C_{1} M N$ 的距离为1 C、过 $M N$ 作与该正方体所有棱都相切的球的截面，所得截面的面积的最小值为 $\frac{3}{8} π$ D、若 $P$ 为直线 $C C_{1}$ 上的动点，则 $\vec{B_{1} P} \cdot \vec{B_{1} C_{1}}$ 为定值

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19、已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a_{n} = \frac{n}{4 n^{2} + 25}$ ，则 $a_{n}$ 的最大值为 $\frac{3}{61}$ B、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{6}$ 成等比数列，则其公比 $q = 1$ 或 $q = 4$ C、若 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} > 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 为递增数列 D、若 $S_{n} = - n^{2} + 9 n + 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 为等差数列

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20、已知袋中有除颜色外形状相同的红、黑球共10个，设红球的个数为n，从中随机取出3个球，取出2红1黑的概率记为 $P_{n}$ ，当 $P_{n}$ 最大时，红球个数为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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