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相关试卷

1、如图，在正六棱柱 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 中， $M$ 为 $F F_{1}$ 的中点.设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A F} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ .若 $|\vec{a}| = |\vec{c}| = 2$ ，则 $\vec{D M} \cdot \vec{B E_{1}}$ 的值是.

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2、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $D D_{1}$ 的中点，则点 $C_{1}$ 到直线 $A E$ 的距离是________．

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3、为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求的拔尖学生，教育部启动了“强基计划”.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙两名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是 $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}$ ，答对第二题的概率分别是 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}$ ，则甲､乙两人中至少有一人通过面试的概率是.

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4、已知函数 $y = f (x + 1)$ 为奇函数，且 $f (1 - x) = f (x + 3)$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 2 - 2^{x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、 $f (x)$ 的最小正周期为2 D、 $f (1) + f (2) + \cdot \cdot \cdot + f (30) = - 1$

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5、如图，圆锥的轴截面 $A B C$ 为等边三角形， $D$ 为弧 $A B$ 的中点， $E, F$ 分别为母线 $B C ､ A C$ 的中点，则异面直线 $B F$ 和 $D E$ 所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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6、要得到函数 $y = sin (4 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需将函数 $y = sin 4 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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7、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m ⊥ α, m$ $∥$ $β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m$ $∥$ $α, m$ $∥$ $β$ ，则 $α$ $∥$ $β$ C、若 $m ⊥ α, α ⊥ β$ ，则 $m$ $∥$ $β$ D、若 $m$ $∥$ $n, n$ $∥$ $α$ ，则 $m$ $∥$ $α$

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8、已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，且 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 5$ ，则 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} =$ （）

A、12 B、 $8 + \sqrt{13}$ C、4 D、13

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9、在空间直角坐标系中，点 $P (2, 3, 4)$ 关于平面 $x O z$ 对称的点的坐标为（）

A、 $(2, 3, 4)$ B、 $(- 2, 3, 4)$ C、 $(2, - 3, 4)$ D、 $(- 2, - 3, 4)$

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10、猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年 $10 %$ 的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过 $n (n \in N^{*})$ 年，则 $n =$ （）（参考数据： $lg 2 \approx 0.3, lg 11 \approx 1.04$ ）

A、8 B、9 C、7 D、6

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (2 a - 3) x + 2, x \leq 1 \\ \log_{a} x, x > 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $0 < a < \frac{3}{2}$ B、 $\frac{1}{2} \leq a < 1$ C、 $0 < a \leq \frac{3}{2}$ D、 $\frac{1}{2} < a < 1$

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12、椭圆 $E : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线 $l_{1}$ 交E于 $A, B$ 两点．过 $F_{2}$ 作垂直于直线 $l_{1}$ 的直线 $l_{2}$ 交E于 $C, D$ 两点．直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点P．

(1)、若直线 $l_{1}$ 的斜率为1，求直线 $l_{2}$ 的方程．

(2)、求点P的轨迹方程．

(3)、求四边形 $A C B D$ 面积的取值范围．

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13、已知集合 $A = \{x | 0 ＜ a x + 1 ＜ 4\}$ ， $B = \{x | y = \sqrt{8 - 2^{x}}\}$ .

(1)、若 $2 \in A$ ， $a \in N^{*}$ ，求 $∁_{R} A$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ， $a > 0$ ，求正数 $a$ 的取值范围．

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14、设数列 $\{a_{n}\}$ 是一个无限数列，若对于一个给定的正整数 $k$ ，不等式 $a_{n - k} + a_{n + k} > 2 a_{n}$ 对每一个大于 $k$ 的正整数 $n$ 都成立，则称 $\{a_{n}\}$ 是 $k$ 阶友好数列.

(1)、若 $a_{n} = n^{2} + 3 n + {(- 1)}^{n}$ ，证明： $\{a_{n}\}$ 是2阶友好数列，但不是1阶友好数列.

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 是1阶友好数列， $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.
证明：① $a_{n + 2} - a_{n + 1} > a_{2} - a_{1}$ ；
② $(n + 2) (a_{1} + a_{n + 2}) > 2 S_{n + 2}$ .

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15、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A P ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D$ ， $M$ 分别是 $B C$ ， $P B$ 的中点， $A P = A C = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = \sqrt{3}$ .延长 $A D$ 至点 $E$ ，使得 $A E = 2 A D$ ，连接 $M E$ .

(1)、证明： $M E ⊥ B C$ ；

(2)、求二面角 $B - A M - E$ 的余弦值；

(3)、若点 $N$ ， $Q$ 分别是直线 $A E$ ， $P C$ 上的动点，求 $N Q$ 的最小值.

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16、已知函数 $f (x) = 2 \ln x + (t - 1) x^{2} + 1$ .

(1)、若 $t = \frac{1}{2}$ ，求证： $f (x) < 1$ ；

(2)、若 $t \in Z$ 且 $f (x) + 2 t x < 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，求 $t$ 的最大值.

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17、如图，椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A, C$ 为椭圆上两点（均位于 $x$ 轴上方），且满足 $A F_{1} // C F_{2}$ ， $△ A F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为2，椭圆的离心率小于 $\frac{1}{2}$ ，且椭圆的四个顶点围成的四边形周长为12.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、求证： $\frac{1}{|A F_{1}|} + \frac{1}{|C F_{2}|}$ 为定值.

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18、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \frac{2}{3} b c$ ， $3 \sin A = 4 \cos B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $4 \sqrt{2} + 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19、过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点 $F_{1} (- c, 0)$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ， $P$ 为 $l$ 上一动点，已知 $M (- \frac{a^{2}}{c}, 0)$ ， $N (\frac{a^{2}}{c}, 0)$ ，若 $\sin ∠ M P N$ 的最大值为 $\frac{2}{3}$ ，则双曲线的离心率为.

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20、甲、乙两人进行某项比赛，已知每局比赛甲获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，没有平局，各局比赛的结果互不影响.约定当一方胜的局数比另一方多两局时即可获胜，比赛结束.设最终比赛局数为 $X$ ，则 $P (X = 6) =$ .

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