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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，且 $△ P A D$ 是边长为 $2$ 的等边三角形.

(1)、求证： $P B ⊥ A D$ ；

(2)、若 $P B = \sqrt{6}$ ，求直线 $B D$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值.

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2、在箱子里有六张印有6名同学名字（名字都不相同）的卡片，6名同学随机在箱子中抽取一张卡片.为了使6名同学都能拿到自己的卡片，每次只有2名同学可以互换手中的卡片，则这6名同学至少进行5次互换才能都拿到自己名字的卡片的概率为.

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3、已知长方体的长，宽，高分别为 $a, b, 3$ ，连接其各面的中心，得到一个八面体.已知该八面体的体积为8，则该长方体的表面积的最小值为.

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4、已知 $θ$ 是第二象限内的角， $sin θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $tan (θ + \frac{π}{6}) =$ .

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5、在平面直角坐标系中，已知定点 $F (4, 0)$ 和定直线 $l : x = - 4$ ，若到点 $F$ 与直线 $l$ 的距离之和等于10的点的轨迹记为曲线 $C$ .给出下列四个结论，其中正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于 $y$ 轴对称 B、若点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在曲线 $C$ 上，则 $2 \leq |M F| \leq 10$ C、若点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在曲线 $C$ 上，则 $|x_{0}| \leq 5$ D、若点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在曲线 $C$ 上，则 $|y_{0}| \leq 6$

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6、若 $m + e^{m} = n + ln n = 4$ ，则（）

A、 $m > n$ B、 $m n > e$ C、 $m + n = 4$ D、 $n e^{n} = e^{4}$

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7、比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为：离散系数 $= \frac{标准差}{均值}$ .某地区进行调研考试，共40000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则下列说法正确是（）
（附：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2}), P (|Z - μ| < σ) \approx 0.68$ .）

A、学生考试成绩标准差为 $57.4 \times 0.36 = 20.664$ B、学生考试成绩近似服从正态分布 $N (57.4, {0.36}^{2})$ C、约有20000名学生的成绩低于58分 D、全体学生成绩的第84百分位数约为78

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8、已知点 $K$ 为三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱 $A_{1} B_{1}$ 上一点，经过顶点 $A, C$ 及点 $K$ 的平面将三棱柱分成体积相等的两部分，则 $\frac{A_{1} K}{B_{1} K}$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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9、已知三个电流瞬时值的函数表达式为 $I_{1} (t) = sin t$ ， $I_{2} (t) = sin (t + φ), I_{3} (t) = sin (t + 2 φ), φ \in (0, π)$ ，它们合成后的电流瞬时值的函数为 $I (t) = I_{1} (t) + I_{2} (t) + I_{3} (t)$ 的部分图象如图所示，则 $I (t)$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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10、记等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = a \cdot 2^{n} - 4$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、8

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11、若 ${(\frac{1}{x \sqrt{x}} + \frac{x}{3})}^{n}$ 展开式中的第2项与第3项的系数相等，则 $n$ 的值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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12、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (4, 3)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上投影向量为（）

A、 $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ B、 $(\frac{8}{5}, \frac{6}{5})$ C、 $(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, \frac{3 \sqrt{5}}{5})$ D、 $(\frac{8 \sqrt{5}}{5}, \frac{6 \sqrt{5}}{5})$

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线相互垂直，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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14、若虚数 $z$ 满足 $z (2 + i) = 2 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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15、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} < 3\}, B = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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16、已知圆M经过点 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, 4)$ ， $C (0, 0)$ ，则圆M的标准方程为．

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17、如果 $A B > 0$ 且 $B C < 0$ ，那么直线 $A x + B y + C = 0$ 不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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18、在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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19、定义：若存在 $λ \in R$ ， $p \in (1, + \infty)$ ，使得数列 $\{a_{n} + λ \cdot p^{n}\}$ （ $λ$ ， $p$ 均为常数）是公差为 $d$ 的等差数列，则称 $\{a_{n}\}$ 是 $(λ, p, d)$ 和比等差数列，也称 $\{a_{n}\}$ 是和比等差数列，且 $λ$ 称为该和比等差数列的系数.

(1)、若数列 $\{b_{n}\}$ 是 $(- 2, 3, - 4)$ 和比等差数列，且 $b_{1} = 1$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} + n^{2}$ .
①试问 $\{a_{n}\}$ 是否为和比等差数列？若是，求该和比等差数列的系数；若不是，请说明理由.
②证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{i}{2 i - a_{i}} < \frac{4}{3}$ .

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20、设函数 $f (x) = \frac{2}{e^{x} + 1} + a x$ .

(1)、证明：曲线 $y = f (x)$ 关于点 $(0, 1)$ 对称.

(2)、已知 $f (x)$ 为增函数.
①求 $a$ 的取值范围.
②证明：函数 $g (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + 2 x - a - 2 \ln (e^{x} + 1)$ 存在唯一的极值点.
③若不等式 $f (- x e^{x}) + f (m - 2 e^{x}) < 2$ 对 $x \in [- 4, 2]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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