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相关试卷

1、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，

(1)、若原点到直线 $x + y - b = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，求椭圆的方程；

(2)、设过椭圆的右焦点且倾斜角为 $45 °$ 的直线 $l$ 和椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，
①若 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ，求 $b$ 的值
②对于椭圆上任一点 $M$ ，若 $\vec{O M} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ，求实数 $λ$ ， $μ$ 满足的关系式．

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2、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{3} + \dots + \frac{a_{n}}{n} = 3^{n} - 2 (n \in N^{*}, n \geq 1)$ ，则 $a_{n} =$ .

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3、南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列 $\{a_{n}\}$ ，其前5项分别为1，3，6，10，15，设数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2025} =$ .

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} + 3$ ，且 $a_{2} = 4$ ．设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} =$ .

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5、数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知对任意自然数 $n$ ， $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} = 2^{n} - 1$ ，则 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{n}^{2}$ 等于（）

A、 $2^{n} - 1$ B、 ${(2^{n} - 1)}^{2}$ C、 $\frac{4^{n} - 1}{3}$ D、 $\frac{4^{n - 1} + 2}{3}$

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} (n \in N^{*})$ ，则有（）

A、 $\{a_{n}\}$ 为等差数列 B、 $\{a_{n}\}$ 为等比数列 C、 $\{S_{n}\}$ 为等差数列 D、 $\{S_{n}\}$ 为等比数列

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7、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 0$ ， $|N F_{2}| = \sqrt{15} |M F_{2}|$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{7}$ C、 $\frac{2 \sqrt{15} - 2}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{15} - 2}{4}$

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8、若圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $P$ 在直线 $l : 2 x + y - 5 = 0$ 上，过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $A$ ，则切线长 $|P A|$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、4

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9、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{30} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 有相同的焦点，且离心率为 $\frac{5}{3}$ ，则双曲线C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{32} - \frac{y^{2}}{18} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

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10、已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ ，则 $\frac{y}{x + 1}$ 的取值范围为（）

A、 $[- \sqrt{3}, \sqrt{3}]$ B、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ C、 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}] \cup [\frac{\sqrt{3}}{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, + \infty)$

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11、设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + \dots + (2 n - 1) a_{n} = n$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、7 B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{8}$

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12、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{n} a_{n + 1}}{2} = 4^{n}, n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{2 n + 1}{a_{n}}$ ，设其前n项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < 5$ ．

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13、第十四届“中华人民共和国全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”分别于2023年3月5日和3月4日胜利召开，为实现新时代新征程的目标任务汇聚智慧和力量.某市计划开展“学两会，争当新代先锋”知识竞赛活动.某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成表队参赛.

(1)、在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，求党员甲被选中的概率.

(2)、现从代表队中随机选取1名队员，求该队员是党员的概率.

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14、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ ，设 $b_{n} = a_{n} + 1$

(1)、求证：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$

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15、袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 $\frac{7}{9}$ ．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望．

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16、已知 $\frac{1}{10} {(x^{2} - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中，含 $x$ 项的系数为 $k$ ， ${(1 - k x)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{10} x^{10}$ .则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10} =$ .

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17、设 $a = \frac{3}{4} e^{\frac{4}{5}}, b = \frac{3}{2}, c = \frac{4}{5} e^{\frac{3}{4}}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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18、骰子是六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个圆点且质地均匀的小正方体，常被用来做等可能性试验．掷一颗骰子一次，用A，B，C，D分别表示事件“结果是偶数”“结果不小于3”“结果不大于2”与“结果为奇数”，则下列结论错误的是（）

A、事件A与B相互独立 B、事件B与C互为对立事件 C、 $P (B | D) = 2 P (C | A)$ D、 $P (C + D) = \frac{5}{6}$

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19、某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（）

A、 $\frac{9}{40}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{4}$

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20、 ${(x^{2} + 3 x + 2)}^{3}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为（）

A、6 B、8 C、27 D、33

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