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相关试卷

1、已知 $0 < β < α < \frac{π}{2}$ ， $cos (α - β) = \frac{4}{5}$ ， $cos α cos β = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{1}{tan α} - \frac{1}{tan β} =$ （）

A、 $- \frac{1}{10}$ B、 $- \frac{3}{10}$ C、 $- 1$ D、 $- 2$

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2、已知半径为3，高为1的圆锥底面圆周上的点和顶点均在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $125 π$ B、 $\frac{400 π}{3}$ C、 $\frac{200 π}{3}$ D、 $\frac{500 π}{3}$

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3、已知 $2 - i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - a x + b = 0 (a, b \in R)$ 的一个根，则 $a - b =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、20

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4、已知曲线 $y = {log}_{2024} (x - 3)$ 过抛物线 $C : y^{2} = m x$ 的焦点，则 $C$ 的准线方程为（）

A、 $x = - \frac{1}{4}$ B、 $y = - 4$ C、 $x = - 4$ D、 $y = - \frac{1}{4}$

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5、已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $sin x + 1 > 0$ ；命题 $q : \exists x \in Z$ ， $x^{2} + 1$ 是质数，则（）

A、 $p, q$ 均是真命题 B、 $\neg p, q$ 均是真命题 C、 $p, \neg q$ 均是真命题 D、 $\neg p, \neg q$ 均是真命题

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6、已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (4 - x) - \log_{\frac{1}{2}} (4 + x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、求不等式 $f (x) < 0$ 的解集.

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7、已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线的方程为 $x + 2 y = 0$ ，则C的离心率的值为.

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8、已知圆 $M$ 的标准方程为 ${(x - 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 25$ ，则下列说法正确的是（）

A、圆 $M$ 的圆心为 $(4, - 3)$ B、点 $(1, 0)$ 在圆内 C、圆 $M$ 的半径为5 D、点 $(- 3, 1)$ 在圆内

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9、若直线 $y = 3 e x$ 为函数 $f (x) = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象的一条切线，则 $a =$ （）

A、 $e$ B、 $e^{3}$ C、 $3 e$ D、 $e^{2}$

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10、设椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ，已知点 $P$ 在椭圆 $E$ 上，若 $∠ F_{1} P F_{2} = 90^{\circ}, ∠ P A F_{2} = 45^{\circ}$ ，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{5}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $2 - \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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11、若 $f (\sin x) = 2 - \cos 2 x$ ，则 $f (\cos x) =$ （）

A、 $2 - \sin 2 x$ B、 $2 + \sin 2 x$ C、 $2 - \cos 2 x$ D、 $2 + \cos 2 x$

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12、奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 的图象分别如图1、图2所示，方程 $f [g (x)] = 0$ 和 $g [f (x)] = 0$ 的实根个数分别 $a$ ， $b$ ，则 $a + b =$ （）

A、3 B、7 C、10 D、14

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13、已知函数 $f (x) = a x^{2} - a x - \ln x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = m x + 2$ ，求实数 $a, m$ 的值；

(2)、若对于任意 $x \geq 1$ ， $f (x) + a x \geq a$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $△ P A D$ 为等边三角形，点 $E$ 是线段 $A D$ 的中点，点 $M$ 满足 $\vec{C M} = \frac{2}{3} \vec{C P}$ ．

(1)、求证： $P E //$ 平面 $B D M$ ﹔

(2)、求二面角 $M - A B - D$ 的余弦值．

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15、已知函数 $f (x) = a x^{2} - 4 x + 2, g (x) = e^{x} + e^{- x} - 4$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 3)$ 上单调，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若对于任意的 $x_{2}$ 总存在 $x_{1}$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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16、某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系，随机抽取了男生120人，女生80人进行测试.根据测试成绩按 $[0, 20), [20, 40), [40, 60), [60, 80), [80, 100]$ 分组得到如图所示的频率分布直方图，并且男生的测试成绩不小于60分的有80人.

(1)、填写下面的 $2 \times 2$ 列联表，判断是否有 $95 %$ 的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；
成绩小于60
成绩不小于60
合计
男
女
合计

(2)、规定成绩不小于60（百分制）为及格，按及格和不及格用分层抽样，随机抽取10名学生进行座谈，再在这10名学生中选2名学生发言，设及格学生发言的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和期望.
附：
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k)$
0.10
0.050
0.010
$k$
2.706
3.841
6.635

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17、集合 $A = \{x |\frac{5}{x - 3} \geq - 1\}$ ， $B = \{x |2 a x^{2} + (2 - a b) x - b < 0\}$ .

(1)、用区间表示集合A；

(2)、若 $a < 0, b < 0$ ， $A \cap B = A$ ，求a，b的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} (a - 3) x + 5, x \leq 1 \\ \frac{2 a}{x}, x > 1 \end{cases}$ 满足对任意 $x_{1} ， x_{2}$ ，都有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) < 0$ 成立，则 $a$ 的取值范围是.

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19、若 ${(1 - 2 x)}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为 $- 80$ ，则展开式中所有项的二项式系数之和为．（以数字作答）

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20、一圆锥的侧面展开图如图所示， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ，弧 $B C$ 长为 $2 π$ ， $M$ 为线段 $A B$ 的中点， $N$ 为弧 $B C$ 中点，则（）

A、该圆锥的体积为 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ B、在扇形 $A B C$ 中， $\vec{A N} \cdot \vec{M C} = - \frac{9}{4}$ C、该圆锥内半径最大的球的表面积为 $2 π$ D、该圆锥内接正四棱柱表面积的最大值为 $\frac{16}{3}$

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	成绩小于60	成绩不小于60	合计
男
女
合计

$P (K^{2} \geq k)$	0.10	0.050	0.010
$k$	2.706	3.841	6.635