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相关试卷

1、已知两条不同的直线m､ $l$ 和两个不同的平面 $α ， β$ ，下列命题是真命题的为（）

A、若m $∥$ $α$ ， $l$ ⊥m，则 $l$ ⊥α B、若 $α$ $∥$ β， $l$ ⊥ $α$ ， $m \subset β$ ，则 $l$ ⊥m C、若m $∥$ $α$ ， $α$ ⊥ $β$ ，则m⊥ $β$ D、若m $∥$ $l$ ， $l \subset α$ ，则m $∥$ $α$

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2、设z=-3+2i，则在复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、水污染现状与工业废水排放密切相关．某工厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过 $A$ 系统处理，处理后的污水（ $A$ 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为 $p (0 < p < 1)$ ．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进入 $B$ 系统处理后直接排放．某厂现有4个标准水量的 $A$ 级水池，分别取样、检测．多个污水样本检测时，既可以逐个化验，又可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有样本不达标，混合样本的化验结果必不达标．若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水可直接排放．现有以下四种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：四个样本混在一起化验．
若化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
（1）若 $p = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，现有4个 $A$ 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优”？
（2）若“方案三”比“方案四”更“优”，求 $p$ 的取值范围．

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4、记 $S_{n}$ 是各项均不为零的数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = \frac{1}{2}, \frac{3}{S_{n}} = \frac{1}{S_{n}^{2}} + \frac{3}{a_{n}} (n \geq 2, n \in N)$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = S_{n} S_{n + 1}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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5、在 $2023$ 年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销、直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系．

(1)、现对某时间段 $100$ 名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：
选择甲公司直播间购物
选择乙公司直播间购物
合计
用户年龄段 $19 - 24$ 岁
$40$
$50$
用户年龄段 $25 - 34$ 岁
$30$
合计
请将表格补充完整，并判断是否有 $99.9 %$ 的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？

(2)、若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为 $0.7$ ；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为 $0.8$ ，求小李第二天去乙直播间购物的概率．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$χ^{2}$ 临界值表：
$P (χ^{2} \geq k)$
$0.10$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$k$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

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6、甲乙两位同学进行乒乓球单打比赛，约定：①每赢一球得1分；②采用两球换发制，即每比赛二球交换发球权．假设甲发球时甲得分的概率是 $\frac{1}{2}$ ，乙发球时甲得分的概率是 $\frac{2}{5}$ ，各球的结果相互独立．根据抽签结果决定，甲先发球．

(1)、求比赛二球后甲得分的期望；

(2)、求比赛六球后甲得分比乙得分多 $2$ 分的概率．

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7、已知 ${(\sqrt[3]{x^{2}} + 3 x^{2})}^{n}$ 的展开式中，各项系数之和比它的二项式系数之和大992，

(1)、求展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求展开式中有理项.

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8、为培养学生对传统文化的兴趣，某市从甲，乙两所学校各抽取100名学生参加传统文化知识竞赛，竞赛成绩分为优秀和非优秀两个等级，成绩统计如下表：
优秀人数
非优秀人数
合计
甲校
60
40
100
乙校
70
30
100
合计
130
70
200
（1）甲，乙两所学校竞赛成绩优秀的频率分别是多少?
（2）能否有95%的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异?
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
P $(K^{2} > k)$
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

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9、已知集合 $M = {x | 1 \leq x \leq 10, n \in N^{*}}$ ，对它的非空子集 $A$ ，将 $A$ 中每个元素 $k$ 都乘以 ${(- 1)}^{k}$ 再求和，如 $A = {1, 4, 7}$ ，可以求得和为 ${(- 1)}^{1} \times 1 + {(- 1)}^{4} \times 4 + {(- 1)}^{7} \times 7 = - 4$ ，则对 $M$ 的所有非空子集，则这些和的总和为．

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10、已知 $a$ 为正数， $x^{2} {(a x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中各项系数的和为1，则常数项为.

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11、随机变量X服从正态分布 $X ～ N (4, σ^{2})$ ，若 $P (0.5 \leq X \leq 4) = 0.38$ ，则 $P (X \geq 7.5) =$ ．

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12、下列说法正确的是（）

A、若随机变量 $ξ \sim N (0, 1), φ (x) = P (ξ \leq x)$ ，其中 $x > 0$ ，则 $P (|ξ| > x) = 2 - φ (x)$ B、若事件 $A$ 与 $B$ 互斥，且 $0 < P (B) < 1$ ，则 $P (A |\bar{B}) = \frac{P (A)}{1 - P (B)}$ C、若事件 $B$ 发生，则事件 $A$ 一定发生，且 $0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1$ 则 $P (A |B) = P (A)$ D、甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为 $\frac{13}{30}$

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13、若 ${(1 - 2 x)}^{2 n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2 n} x^{2 n}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $\sum_{i = 0}^{2 n} |a_{i}| = 1$ C、 $\sum_{i = 0}^{n} {(C_{n}^{i})}^{2} = C_{2 n}^{n}$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} a_{2 i} = \frac{9^{n} + 1}{2}$

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14、4个不同的小球随机投入4个不同的盒子，设随机变量 $X$ 为空盒的个数，下列说法正确的是（）

A、随机变量 $X$ 的取值为 $1, 2, 3$ B、 $P (X = 3) = \frac{1}{64}$ C、 $P (X = 2) = \frac{9}{64}$ D、 $E (X) = \frac{81}{64}$

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15、设A，B为两个随机事件，若 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，下列命题中，正确的是（）

A、若A，B为互斥事件， $P (A + B) = \frac{7}{12}$ B、 $P (A + B) \geq \frac{7}{12}$ C、若 $P (A B) = \frac{1}{12}$ ，则A，B为相互独立事件 D、若A，B为相互独立事件，则 $P (\bar{A} \cdot B) = \frac{1}{2}$

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16、设随机变量 $X ~ N (0, 1), f (x) = P (X ⩾ x)$ ，其中 $x > 0$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $f (2 x) = 2 f (x)$ B、 $f (- x) = 1 - f (x)$ C、 $P (X ⩽ x) = 2 f (x) - 1$ D、 $P (| X | > x) = 2 - f (x)$

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17、 ${(x + 2 y + z)}^{11}$ 的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（）

A、72项 B、75项 C、78项 D、81项

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18、同时抛掷两枚质地均匀的硬币（忽略客观因素对其的影响），如果已经知道有一枚硬币正面朝上，那么这两枚硬币都是正面朝上的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、不确定

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = n^{2} - 1$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $- 5$ B、5 C、7 D、8

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20、已知 $A_{n}^{2} = C_{n}^{n - 3}$ ，则 $n =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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	选择甲公司直播间购物	选择乙公司直播间购物	合计
用户年龄段 $19 - 24$ 岁	$40$		$50$
用户年龄段 $25 - 34$ 岁		$30$
合计

$P (χ^{2} \geq k)$	$0.10$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$k$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

	优秀人数	非优秀人数	合计
甲校	60	40	100
乙校	70	30	100
合计	130	70	200

P $(K^{2} > k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828