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相关试卷

1、若复数 $z$ 满足 $\frac{1 - z}{1 + z} = i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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2、已知集合 $A = \{x | 2 \leq x < 4\}$ ， $B = \{x| x > 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x | x \geq 2\}$ B、 $\{x | x > 3\}$ C、 $\{x| 2 \leq x < 3\}$ D、 $\{x | 3 < x < 4\}$

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3、如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}, A C = A A_{1}$ ， E，F分别是棱 $B C, A_{1} C_{1}$ 上的点．记 $E F$ 与 $A A_{1}$ 所成的角为 $α$ ， $E F$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $β$ ，二面角 $F - B C - A$ 的平面角为 $γ$ ，则（）

A、 $α \leq β \leq γ$ B、 $β \leq α \leq γ$ C、 $β \leq γ \leq α$ D、 $α \leq γ \leq β$

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4、已知函数 $f (x) = cos 3 x - cos 2 x$ ， $x \in (0, π)$ ，若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $\frac{π}{5} \in {x_{1}, x_{2}}$ B、 $x_{2} = 3 x_{1}$ C、 $\cos x_{1} + \cos x_{2} = \frac{1}{2}$ D、 $\cos x_{1} \cos x_{2} = - \frac{1}{4}$

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5、如图，在四面体 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $A D$ 的中点， $G$ 、 $H$ 分别在 $B C$ 、 $C D$ 上，且 $B G : G C = D H : H C = 1 : 2$ ．

(1)、求证： $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 四点共面；

(2)、设 $E G$ 与 $H F$ 交于点 $P$ ，求证： $P$ 、 $A$ 、 $C$ 三点共线．

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6、对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1， $x_{1}, x_{2}, \dots,$ 5.记第n次得到的数列的各项之和为 $S_{n}$ ，则 $\{S_{n}\}$ 的通项公式 $S_{n} =$ （）

A、 $3^{n + 1} + 3$ B、 $3^{n + 1} + 1$ C、 $3^{n} + 3$ D、 $3^{n + 1}$

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7、直线 $\sqrt{3} x + y - 2 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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8、已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的偶函数，当 $x \leq 0$ ， $f (x) = - x^{2} + 4 x - 3$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (2 m - 1) < f (m + 1)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B // C D$ ，且 $P A = 1$ ， $A B = 1$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $C D = 2$ ， $A B ⊥ B C$ ， $N$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、求平面 $A B C D$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值；

(2)、求点 $N$ 到平面 $P B C$ 的距离；

(3)、在线段 $P D$ 上，是否存在一点 $M$ ，使得直线 $C M$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ？若存在，求出 $\frac{D M}{D P}$ 的值：若不存在，请说明理由.

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10、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 120 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 4$ ， $A A_{1} = 6$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点， $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $F$ 为 $A_{1} C$ 的中点.
（1）证明： $E F / /$ 平面 $A B C$ ；
（2）求直线 $A_{1} C$ 与平面 $B_{1} C D$ 所成角的余弦值.

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11、某市教育局为了了解高三学生体育课达标情况，在某学校的高三学生体育课达标成绩中随机抽取50个进
行调研，按成绩分组：第1组 $[75, 80)$ ，第2组 $[80, 85)$ ，第3组 $[85, 90)$ ，第4组 $[90, 95)$ ，第5组 $[95, 100)$ ，得到的频率分布直方图如图所示：
若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查．
（1）已知学生甲和学生乙的成绩均在第五组，求学生甲或学生乙被选中复查的概率；
（2）在已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受篮球项目的考核，求其中一个在第三组，另一人在第四组的概率．

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12、已知空间三点 $A (- 2, 0, 2)$ ， $B (- 1, 1, 2)$ ， $C (- 3, 0, 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ .

(1)、求 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值；

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - 2 \vec{b}$ 的夹角是钝角，求k的取值范围.

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13、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 0)$ ， $\vec{b} = (k, 0, 1)$ ，若 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = 60^{\circ}$ ，则 $k =$ .

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14、已知向量 $\vec{a} = (m + 1, 2, m)$ 是直线l的一个方向向量，向量 $\vec{n} = (1, m, 2)$ 是平面 $α$ 的一个法向量，若直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，则实数m的值为．

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15、点 $A (2, 1, 1)$ 是直线 $l$ 上一点， $\overset{⃑}{a} = (1, 0, 0)$ 是直线 $l$ 的一个方向向量，则点 $P (1, 2, 0)$ 到直线 $l$ 的距离是．

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16、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、已知两个向量 $\vec{a} = (m, 1, 3), \vec{b} = (- 1, 5, n)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m n = - 3$ B、已知 $\vec{a} = (0, 1, 1), \vec{b} = (0, 0, - 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $(0, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ C、设 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 是空间的一个基底，则 ${\vec{a} - \vec{b}, \vec{b}, \vec{c}}$ 也是空间的一个基底 D、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} - \frac{1}{4} \vec{O C}$ ，则 $P, A, B, C$ 四点共面

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17、如图，菱形 $A B C D$ 边长为 $2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $E$ 为边 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使 $A$ 到 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ ，且 $A^{'} D ⊥ D C$ ，平面与 $A^{'} B E$ 平面 $A^{'} C D$ 的交线为 $l$ ，则下列结论中错误的是（）

A、平面 $A^{'} D E ⊥$ 平面 $A^{'} B E$ B、 $C D / / l$ C、 $B C$ 与平面 $A^{'} D E$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{2}$ D、二面角 $E - A^{'} B - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$

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18、如图，设每个电子元件能正常工作的概率为 $p$ ，则电路能正常工作的概率为（）

A、 $p + p^{2}$ B、 $p + p^{2} - p^{3}$ C、 $p^{3}$ D、 $p^{2} + p^{3}$

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19、如右图在一个二面角的棱上有两个点 $A$ ， $B$ ，线段 $AC ， BD$ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 $AB$ ， $AB = 4 cm ， AC = 6 cm ， BD = 8 cm ， CD = 2 \sqrt{17} cm$ ，则这个二面角的度数为

A、30° B、60° C、90° D、120°

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20、若 $\overset{⃑}{O A}$ 、 $\overset{⃑}{O B}$ 、 $\overset{⃑}{O C}$ 为空间三个单位向量， $\overset{⃑}{O A} ⊥ \overset{⃑}{O B}$ ，且 $\overset{⃑}{O C}$ 与 $\overset{⃑}{O A}$ 、 $\overset{⃑}{O B}$ 所成的角均为 $60^{\circ}$ ，则 $|\overset{⃑}{O A} + \overset{⃑}{O B} + \overset{⃑}{O C}| =$ （）

A、5 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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