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相关试卷

1、已知直线 $l$ 的方程为： $(2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ .

(1)、求证：不论 $m$ 为何值，直线必过定点 $M$ ；

(2)、过点 $M$ 引直线 $l_{1}$ 交坐标轴正半轴于 $A 、 B$ 两点，当 $△ A O B$ 面积最小时，求 $△ A O B$ 的周长.

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2、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0$ ， $P$ 为直线 $l : x + y + 2 = 0$ 上一点，过点 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 和 $B$ ，则四边形 $P A C B$ 的面积的最小值为.

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3、已知向量 $\vec{a} = (4, 3, 2)$ ， $\vec{b} = (1, - 1, 1)$ ，则 $|\vec{a} - 2 \vec{b}| =$ .

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4、过点 $A (3, 1)$ ，且与直线 $2 x + y - 5 = 0$ 垂直的直线方程是.

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5、已知曲线 $y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}$ 与直线 $y = k (x - 2) + 4$ 有两个相异的交点，那么实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{5}{12}, \frac{4}{3})$ B、 $(\frac{5}{12}, \frac{3}{4}]$ C、 $(\frac{5}{12}, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{6}, \frac{7}{12})$

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6、过三点 $A (1, 3), B (4, 2), C (1, - 7)$ 的圆交于 $y$ 轴于 $M, N$ 两点，则 $|M N|$ ＝（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、8 C、 $4 \sqrt{6}$ D、10

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7、已知点 $P (0, - 1)$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称的点 $Q$ 在圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + m x + 4 = 0$ 上，则 $m =$ （）

A、4 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $- 4$ D、 $- \frac{9}{2}$

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8、已知 $a = \sin 1$ ， $b = 2^{2 \sin 1}$ ， $c = \log_{2} (\sin 1)$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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9、已知角 $α$ 的终边过点 $P (3, - 3 \sqrt{2})$ ，则 $sin (α + \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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10、直线 $x + y - 1 = 0$ 与 $2 x + 2 y + 3 = 0$ 的距离是（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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11、已知复数 $z = \frac{5 - 5 i}{2 + i}$ ，则对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、已知全集 $U ＝ R$ ，集合 $A ＝ {x | x^{2} - 2 x < 0}, B ＝ \{x | 2^{x} > 1\}$ ，则（）

A、 $A \cap B ＝ \emptyset$ B、 $A \cup B ＝ A$ C、 $A \subseteq B$ D、 $B \subseteq A$

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13、数字 $1, 2, 3, ..., n (n \geq 2)$ 的任意一个排列记作 $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})$ ，设 $S_{n}$ 为所有这样的排列构成的集合.集合 $A_{n} = \{(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}) \in S_{n}|$ 任意整数 $i, j .1 \leq i < j \leq n,$ 都有 $a_{i} - i \leq a_{j} - j\}$ ，集合 $B_{n} = \{(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}) \in S_{n}|$ 任意整数 $i, j, 1 \leq i < j \leq n,$ 都有 $a_{i} + i \leq a_{j} + j\}$
（1）用列举法表示集合 $A_{3}, B_{3}$ ；
（2）求集合 $A_{n} \cap B_{n}$ 的元素个数；
（3）记集合 $B_{n}$ 的元素个数为 $b_{n}$ ，证明：数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列.

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14、已知函数 $f (x) = \ln x - 2 a x$ （其中 $a \in R$ ）.

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、证明：当 $x \in (0, 1)$ 时， $f (x) + 2 a x > \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{x}$ 成立；

(3)、设 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2} x^{2}$ ，且函数 $g (x)$ 有极大值点 $x_{0}$ ，求证： $x_{0} f (x_{0}) + 1 + a x_{0}^{2} > 0$ .

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15、已知 $P (x_{0}, 6)$ 是抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，F是C的焦点，且 $|P F| = \frac{5}{4} x_{0}$ .

(1)、求C的方程；

(2)、记O为坐标原点，斜率为1的直线 $l$ 与C交于A，B两点（异于点O），若 $O A ⊥ O B$ ，求 $△ A B F$ 的面积.

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16、如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中，底面 $B C D E$ 为直角梯形，其中 $C D // E B$ ， $E B = 2 C D = 2 \sqrt{2}$ ， $C B$ $⊥ B E$ ， $A E = A B = B C = 2$ ， $A D = \sqrt{6}$ .

(1)、证明：平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、已知 $B E$ 上有一点 $M$ ，满足 $\vec{E M} = \frac{2}{5} \vec{E B}$ ，求此时平面 $A D M$ 与平面 $A B C$ 所成角的余弦值.

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{\sin A - \sqrt{3} \sin C}{\sin B + \sin C} = \frac{b - c}{a}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $\cos A + \sin C = 1$ ，求 $\cos (A - \frac{π}{6})$ 的值.

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18、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面积与以 $△ A B C$ 的外接圆为底面的圆柱的侧面积相等，则正三棱柱与圆柱的体积的比值为.

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19、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线的倾斜角分别为 $α$ ， $β$ ，若 $α - β = \frac{π}{2}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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20、某同学玩一种跳棋游戏，抛掷一枚质地均匀且标有数字 $1 \sim 6$ 的骰子，规定：若掷得数字小于或等于4，则前进1步；若掷得数字大于4，则前进2步.每次投掷互不影响，记某同学一共前进 $n$ 步的概率为 $p_{n}$ ，则（）

A、 $p_{2} = \frac{4}{9}$ B、 $p_{3} = \frac{20}{27}$ C、 $p_{n} = 3 p_{n + 2} - 2 p_{n + 1} (n \in N^{*})$ D、 $p_{2 n} > p_{2 m + 1} > p_{2 m - 1} (n, m \in N^{*})$

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