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相关试卷

1、用斜二测画法得到一个水平放置的四边形 $O A B C$ 的直观图为如图所示的直角梯形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，已知 $O^{'} A^{'} ∥ C^{'} B^{'}, O^{'} A^{'} ⊥ A^{'} B^{'}, O^{'} A^{'} = 3 C^{'} B^{'}$ ，四边形 $O A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{2}$ ，则 $C^{'} B^{'} =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2、已知平面向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ 与 $\vec{b} = (2 + x, - 8)$ 共线，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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3、已知集合 $A = \{x |y = {log}_{2} x \leq 1\}, B = \{x ||x| \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 1]$ B、 $[- 1, 2]$ C、 $(- 1, 1]$ D、 $(1, 2]$

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4、在数学实践课堂上小明将手中的非等腰直角三角形板绕着该直角板的斜边旋转一周，得到的几何体为（）

A、圆柱 B、两个大小相同的圆锥组成的组合体 C、两个大小不同的圆锥组成的组合体 D、八面体

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5、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）上横坐标为4的点到焦点的距离为5.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $x = m y + n$ 与抛物线C交于两点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 且 $|y_{1} - y_{2}| = a$ （ $a > 0$ ），且 $a$ 为常数，我们把 $A B$ 叫做抛物线 $C$ 的弦，若 $M$ 是弦 $A B$ 中点，过 $M$ 作平行于 $x$ 轴的直线交抛物线 $C$ 于点 $D$ ，得到 $△ A B D$ ，求证： $△ A B D$ 的面积为定值；

(3)、在（2）的条件下，再分别过弦 $A D$ 、 $B D$ 的中点作平行于 $x$ 轴的直线依次交抛物线 $C$ 于点 $E$ 、 $F$ ，得到 $△ A D E$ 和 $△ B D F$ ，按此方法继续下去，若设 $a_{1} = S_{△ A B D} ， a_{2} = S_{△ A D E} + S_{△ B D F} ，$ …， $a_{n}$ 是第 $n$ 次操作时得到的 $2^{n - 1}$ 个三角形面积的和，记 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} ，$ 试比较 $S_{n}$ 与 $\frac{a^{3}}{24}$ 大小并说明理由.

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6、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别在 $B B_{1} ， D D_{1}$ 上，且 $A E ⊥ A_{1} B, A F ⊥ A_{1} D$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ E F$ ；

(2)、当 $A D = 3 ， A B = 4 ， A A_{1} = 5$ 时.
（i）求 $A_{1}$ 到平面AEF的距离；
（ii）求平面AEF与平面 $A_{1} B D$ 的夹角的余弦值.

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, （ a > b > 0 ）$ ，长轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2} .$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 倾斜角为 $\frac{3}{4} π$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ ，求 $|M N|$ .

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $S_{n}$ 为其前n项和， $S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n, (n \in N^{*}, n \geq 1)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}} ，$ 求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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9、已知 $△ A B C$ 的顶点 $B (- 2, 0)$ ， $A B$ 边上的高所在的直线方程为 $x + 3 y - 26 = 0$ ．

(1)、求直线 $A B$ 的方程；

(2)、若 $B C$ 边上的中线所在的直线方程为 $y = 3$ ，求直线 $A C$ 的方程．

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10、在四面体 $A B C D$ 中，且 $∠ B A D = ∠ A B C = \frac{π}{2}, A B = \sqrt{3}$ ， $A D = B C = 1$ ， $C D = \sqrt{6}$ 则四面体 $A B C D$ 外接球的表面积为.

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11、已知 $b$ 是 $a$ 、 $c$ 的等差中项，直线 $a x + b y + c = 0$ 恒过定点 $A$ ，则定点 $A$ 的坐标为.

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12、双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的两条渐近线所成的锐角为．

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13、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8} = 1 ， F_{1} ， F_{2}$ 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5} ，$ 下列说法正确的是（）

A、满足条件的P点总共有4个 B、 $S_{△ F_{1} P F_{2}}$ =4 C、|PO|=3 D、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 6$

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14、在正方体 $A B C D - - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列说法正确的是（）

A、异面直线 $A_{1} B$ 与 $A D_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ B、直线 $A C_{1}$ 与底面 $A B C D$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ C、直线 $A C$ 与 $B D_{1}$ 垂直 D、二面角 $C_{1} - A B - D$ 大小为 $\frac{π}{4}$

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15、函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象为双曲线，下列关于该双曲线的说法正确的是（）

A、焦距长为 $2 \sqrt{2}$ B、实轴长为 $2 \sqrt{2}$ C、对称轴为 $y = \pm x$ D、离心率为2

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16、设 $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0 ， b > 0$ ）的左右焦点，O为坐标原点，P为C的一条渐近线上一点，且 $|\vec{P F_{1}} + \vec{P O}| = |\vec{P F_{1}} - \vec{P O}|, |\vec{P F_{1}}|, |\vec{P O}|, |\vec{F_{1} O}|$ 成等差数列，则C的离心率为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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17、已知 $\{a_{n}\}$ 为各项均为正数的等比数列， $T_{n}$ 为其前n项积， $a_{2} = \frac{63}{2} ， a_{4} = \frac{63}{8} ，$ 当 $T_{n}$ 取得最大值时，n为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 过点 $P (1, 1)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点， $P$ 为线段 $A B$ 的中点，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{5}{3}$

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19、已知平面内两定点 $A (- 9, 0), B (- 1, 0)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足 $|P A| = 3 |P B|$ ， $△ A B P$ 面积的最大值为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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20、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前n项和， $3 a_{2} + S_{6} = 2025 ，$ 则 $a_{3} =$ （）

A、224 B、225 C、2024 D、2025

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