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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = cos 2 x cos φ - sin 2 x sin φ$ $(0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{6},0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $x = \frac{5}{12} π$ 是函数 $f (x)$ 的图象的一条对称轴 B、函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{6}]$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位可得到 $y = cos 2 x$ 的图象 D、函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最小值为－1

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2、数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 满足： $\{b_{n}\}$ 是等比数列， $a_{1} = b_{1} = 2$ ， $b_{2} = 4$ ，且 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} = 2 (a_{n} - 3) b_{n} + 8 (n \in N_{+})$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、求集合 $A = \{x |(x - a_{i}) (x - b_{i}) = 0, i \leq 100, i \in N_{+}\}$ 中所有元素的和．

(3)、对数列 $\{c_{n}\}$ ，若存在互不相等的正整数 $k_{1}, k_{2}, \dots k_{j} (j \geq 2)$ ，使得 $c_{k_{1}} + c_{k_{2}} + \dots + c_{k j}$ 也是数列 $\{c_{n}\}$ 中的项，则称数列 $\{c_{n}\}$ 是“和稳定数列”．试判断数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 是否是“和稳定数列”，并说明理由．

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3、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上的最值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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4、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为8，离心率为 $\frac{4}{5}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $4 x - 5 y + 10 = 0$ 与C交于 $A, B$ 两点，点 $P$ 为椭圆上任意一点，求 $△ P A B$ 的面积的最大值.

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5、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 为等边三角形，四边形 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ D A B ＝ 60 °$ ， E是AD的中点.

(1)、判断直线BE与平面 $P A D$ 的位置关系，并证明；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 所成的锐二面角的余弦值.

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6、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y - 8 = 0$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 2 = 0$ ，

(1)、证明圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相交；

(2)、求圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦所在直线的方程及公共弦的长.

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7、已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， E上存在点P，使得 $\vec{F_{1} F_{2}} \cdot \vec{F_{1} P} = {\vec{F_{1} P}}^{2}$ ，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆与y轴相切，则E的离心率为.

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8、已知直线 $l : x - 2 y - 8 = 0$ 和 $A (- 2, 0), B (2, 4)$ 两点，若点 $P$ 为直线 $l$ 上一动点，则 $| P A | + | P B |$ 的最小值为．

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9、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $S_{n}$ 为其前n项的和，若 $S_{4} = 6, S_{8} = 20$ ，则 $S_{12} =$ ．

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10、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1, E, F$ 分别是棱 $A_{1} D_{1}$ 和 $C D$ 的中点， $G$ 是棱 $B B_{1}$ 上的一点， $P$ 是正方形 $A B B_{1} A_{1}$ 内一动点，且点 $P$ 到直线 $A_{1} B_{1}$ 与直线 $B C$ 的距离相等，则（）

A、 $E G ⊥ A F$ B、点 $D_{1}$ 到直线 $A F$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、存在点 $G$ ，使得 $G E$ $/ /$ 平面 $A C D_{1}$ D、动点 $P$ 在一条抛物线上运动

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11、已知曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{2 - m} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1$ ，则下列说法正确的为（）

A、曲线C可以是圆 B、若 $1 < m < 2$ ，则曲线C为椭圆 C、曲线C可以表示抛物线 D、若曲线C为双曲线，则 $m < 1$ 或 $m > 2$

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12、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 11 n - n^{2}$ ，则（）

A、 $a_{1} = 10$ B、 $a_{n} = - 2 n + 12$ C、当 $n = 5$ 或6时，数列 $\{S_{n}\}$ 有最小项 D、 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列

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13、若不等式 $e^{x + a} \geq \ln x - a$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{e}, + \infty)$ D、 $[- e, + \infty)$

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14、函数 $y = x + \ln x$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程为（）．

A、 $y = 2 x + 1$ B、 $y = 2 x - 1$ C、 $y = x + 1$ D、 $y = x - 1$

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15、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} = 3, S_{3} = 9$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、12或3 B、1或 $- \frac{1}{2}$ C、12 D、 $- \frac{1}{2}$

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16、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, 3)$ ，向量 $\vec{b} = (- 4, 2, x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{10}{3}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{10}{3}$ D、 $- \frac{3}{10}$

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17、抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的准线方程是

A、 $x = - 2$ B、 $x = - 4$ C、 $y = - 2$ D、 $y = - 4$

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18、如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（）

A、 $f (x) = \frac{x}{\ln |x + 2|}$ B、 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x + 1} - 1}$ C、 $f (x) = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}}$ D、 $f (x) = \frac{x}{{(x + 1)}^{2}}$

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19、“拐点”又称“反曲点”，是曲线上弯曲方向发生改变的点.设 $φ^{'} (x)$ 为函数 $φ (x)$ 的导数，若 $α$ 为 $φ^{'} (x)$ 的极值点，则 $(α, φ (α))$ 为曲线 $y = φ (x)$ 的拐点.
已知曲线C： $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ .

(1)、求C的拐点坐标；

(2)、证明：C关于其拐点对称；

(3)、设 $l$ 为C在其拐点处的切线，证明：所有平行于 $l$ 的直线都与C有且仅有一个公共点.

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20、某学校组织竞赛，有A，B两类问题可供选择，其中A问题答对可得5分，答错0分，B问题答对只可得3分，但答错有2分，现小明与小红参加此竞赛，小红答对2种问题的概率均为0.5，小明答对A，B问题的概率分别为0.3，0.7

(1)、小红一共参与回答了2题，记X为小红的累计得分，求X的分布列

(2)、小明也参与回答了2道问题，记Y为小明的累计得分，求该如何选择问题，使得E[Y]最大．

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