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相关试卷

1、如图，在直三棱柱 $A B C - D E F$ 中， $A D = A B = B C = 2, A B ⊥ B C, M$ 为 $A D$ 的中点，则（）

A、 $M E ⊥ E C$ B、三棱锥 $F - M E C$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ C、直线 $M E$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、三棱锥 $E - A B C$ 的外接球的表面积为 $4 \sqrt{3} π$

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2、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，对于任意的 $y > x > 0$ ，都有 $x f (y) - y f (x) + x^{2} y - x y^{2} > 0$ ．若 $f (4) = 4$ ，且 $f (x + a) < x^{2} + (2 a - 3) x + a^{2} - 3 a$ 在 $x \in [1, 4]$ 时恒成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(- 1, 4)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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3、由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率 $π$ 与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{5 \sqrt{2}}{8}, F_{1}, F_{2}$ 分别为 $C$ 的左､右焦点， $C$ 上一点 $P$ 满足 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{7}{2}$ ，则 $C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{7} π$ B、 $2 \sqrt{7} π$ C、 $\sqrt{14} π$ D、 $2 \sqrt{14} π$

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4、将函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x - \cos 2 x$ 图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(0, \frac{1}{2}]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$

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5、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 20 = 0$ 上恰有两个点到直线 $l : x + y + m = 0 (m > 0)$ 的距离为2，则m的取值范围是（）

A、 $(3 \sqrt{2}, 7 \sqrt{2})$ B、 $(3 \sqrt{2} + 1, 7 \sqrt{2} + 1)$ C、 $(2 \sqrt{2}, 7 \sqrt{2})$ D、 $(2 \sqrt{2} + 1, 7 \sqrt{2} + 1)$

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6、已知 $p : \forall x \in (0, π)$ ， $\sin x < 1$ ； $q : \exists x \in R$ ， $x + |x| \leq 0$ .下列结论正确的是（）

A、p是真命题，q是真命题 B、p是真命题， $\neg q$ 是真命题 C、 $\neg p$ 是真命题，q是真命题 D、 $\neg p$ 是真命题， $\neg q$ 是真命题

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7、函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2^{x} - 5 x + a$ ，则 $f (a) =$ （）

A、 $- 6$ B、 $- 4$ C、4 D、6

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8、抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F， $A (2, - 4)$ 是抛物线C上一点，则 $|A F| =$ （）

A、10 B、8 C、6 D、4

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9、已知复数 $z = \frac{5 + i}{1 + i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{13}$ C、8 D、13

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10、已知公差不为零的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 15$ ， $a_{3}$ ， $a_{6}$ ， $a_{13}$ 成等比数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = a_{n} \cdot 2^{n}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ 且满足 $a_{n} = 2 S_{n} - 1 (n \in N_{+})$ ．

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 值；

(2)、证明数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列并求其通项公式．

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12、如图， $A, B, C, D$ 四人围成一圈玩成语接龙游戏，游戏开始时随机抽取一个成语，第1次由 $A$ 接龙，下一次接龙的人由掷硬币决定，规则如下：随机掷3枚硬币，如果3枚硬币都是反面朝上，则第2次由 $A$ 接龙；如果3枚硬币中仅有1枚正面朝上，则第2次由 $B$ 接龙；如果3枚硬币中仅有2枚正面朝上，则第2次由 $C$ 接龙；如果3枚硬币都是正面朝上，则第2次由 $D$ 接龙．记第2次接龙的人 $x$ （ $x$ 为 $A$ 或 $B$ 或 $C$ 或 $D$ ），再次掷3枚硬币决定下一次的接龙人，若掷出的硬币中有 $i$ 枚硬币正面朝上，则按顺时针方向数，下一次由 $x$ 后面的第 $i$ 个人接龙（若 $i ＝ 0$ ，则下一次由 $x$ 接龙）．此后每次接龙以此类推．

(1)、分别求出第2次由 $A, B, C, D$ 接龙的概率；

(2)、记前3次中由 $A$ 接龙的次数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及期望；

(3)、记第 $n$ 次由 $A$ 接龙的概率为 $P_{A_{n}}$ ，证明 $P_{A_{4 n - 1}} ＝ \frac{1}{4} (n \geq 1, n \in N^{*})$ ．

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13、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $∠ B A C = 60^{\circ}$ ．侧棱 $C C_{1} = 4$ ． $P ， Q$ 分别为 $B B_{1} ， C C_{1}$ 上的动点，当 $Q$ 运动到 $C C_{1}$ 的中点时，异面直线 $A Q$ 与 $A_{1} B_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ．

(1)、证明： $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 是正三棱柱；

(2)、若 $P ， Q$ 运动时，总满足 $P Q ⊥ A Q$ ．当 $△ A P Q$ 面积最小时，求二面角 $A - P Q - C$ 的大小．

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14、设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} ＋ \frac{y^{2}}{b^{2}} ＝ 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ．已知 $M (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆 $C$ 上，且 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、如图，过点 $M$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于另一点 $N$ 与 $x$ 轴交于点 $P$ ，若 $∠ P F_{1} M ＋ ∠ P F_{1} N ＝ π$ ，求 $△ M N F_{1}$ 的面积．

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15、已知函数 $f (x) = x \ln x + a x^{2}$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线经过坐标原点，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点，求 $a$ 的取值范围．

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16、已知数列 $\{a_{n}\} ， \{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} ＝ 1$ ，且 $- a_{n}, a_{n ＋ 1}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x - b_{n} ＝ 0$ 的两个根．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $c_{n} ＝ \frac{2}{b_{n}} + {(- 1)}^{n} a_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前21项和 $S_{21}$ ．

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17、有 $m$ 个大小外观一致、重量各不相同的小纸箱和一个天平，设 $a_{m}$ 为确保找到第二重的小纸箱时使用天平的最少次数．则 $a_{8} ＝$ ； $a_{31} ＝$ ．

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18、圆锥曲线在物理光学上都有各自光学性质．在双曲线中，从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} ＝ 1$ ，一束光线从 $C$ 的右焦点 $F$ 射出．经过 $C$ 反射后到达点 $Q (6 ， 6)$ ．则光线从 $F$ 到 $Q$ 所经过的路径长为．

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19、已知函数 $f (\tan x) ＝ \cos^{2} x - \sin 2 x$ ，则 $f (1) ＝$ ．

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20、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (x)$ 为奇函数， $f (2) ＝ - f (1) \neq 0$ ，且对任意 $x ， y \in R$ ， $f (x ＋ y) ＝ f (x) f^{'} (y) ＋ f^{'} (x) f (y)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f^{'} (1) ＝ 0$ B、 $f (2025) ＝ 0$ C、 $\sum_{k = 1}^{2025} f (k) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2025} f^{'} (k) = 0$

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