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相关试卷

1、敦煌莫高窟飞天壁画折扇的展开图如图1所示，其平面简化图如图2所示，该扇子的扇面（扇环形 $A B C D$ ）可视为扇形 $O A B$ 截去扇形 $O C D$ 所剩余的部分．已知 $∠ A O B = \frac{5 π}{6}$ ， $O A = 30 cm$ ， $O D = 12 cm$ ，则该扇子的扇面面积为 ${cm}^{2}$ ．

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2、已知 $f (x)$ 是奇函数，当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) = 3 x + 4$ ，则 $f (- 1) =$ ．

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3、已知一正弦电流 $I$ （单位：A）随时间 $t$ （单位：s）变化的函数 $I = A sin (ω t + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $A = 60$ B、 $ω = \frac{50 π}{3}$ C、 $φ = \frac{π}{6}$ D、在一个周期内，电流不超过30A的时长为 $\frac{2}{25} s$

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4、关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + a x + 3 a > 0$ 的解集为 $R$ 的充分不必要条件有（）

A、 $lg a = 1$ B、 $0 < a < 12$ C、 $1 < a < 11$ D、 $- 1 < a < 15$

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5、已知角 $α$ 的终边上一点 $P$ 的坐标为 $(- 1, \sqrt{5})$ ，则（）

A、 $α$ 为第四象限角 B、 $sin α = \frac{\sqrt{30}}{6}$ C、 $cos α = - \frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $tan α = \sqrt{5}$

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6、若 $a = {log}_{3} 5 \times {log}_{2} 3$ ， $b = {log}_{0.9} 1.1$ ， $c = 2 tan 0.75$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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7、函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{2 x^{2} - 3 x + 11}$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- \infty, \frac{3}{2}]$ B、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{3}{4}]$ D、 $[\frac{3}{4}, + \infty)$

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8、已知 $3 a^{2} + b^{2} = 1$ ，则 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{3}{b^{2}}$ 的最小值为（）

A、6 B、12 C、18 D、24

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9、函数 $f (x) = cos (x + \frac{π}{5})$ 图象的对称中心为（）

A、 $(\frac{3 π}{10} + k π, 0) (k \in Z)$ B、 $(\frac{3 π}{10} + 2 k π, 0) (k \in Z)$ C、 $(- \frac{π}{5} + k π, 0) (k \in Z)$ D、 $(- \frac{π}{5} + 2 k π, 0) (k \in Z)$

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10、已知 $f (x) = (4 m + 5) x^{m}$ 是幂函数，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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11、已知函数 $f (x)$ 的图象是一条连续不断的曲线，且 $f (0) > 0$ ， $f (1) > 0$ ， $f (2) > 0$ ， $f (3) < 0$ ， $f (4) < 0$ ，则在下列区间中，一定包含 $f (x)$ 零点的区间是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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12、函数 $f (x) = tan \frac{π}{8} x$ 的最小正周期为（）

A、16 B、8 C、 $16 π$ D、 $8 π$

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13、已知全集 $U = \{- 8, - 3, 3, 5\}$ ，集合 $A = \{- 3, 5\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{- 8\}$ B、 $\{3\}$ C、 $\{- 3, 3\}$ D、 $\{- 8, 3\}$

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14、下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $y = x + 1$ B、 $y = - x^{3}$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = x | x |$

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $sin C + \sqrt{3} cos C = \frac{\sqrt{3} a}{b}$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a + c = 2, b = \sqrt{3}, ∠ A B C$ 的角平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，求 $B D$ .

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16、阅读材料：北京奥林匹克体育场（如图1），俗称“鸟巢”，其外形是以众多钢铁线条“编织”而成的.
从空中向下俯视，其外围形状大致为两个椭圆，大椭圆的弦是小椭圆的切线（如图2），那些编织“鸟巢”的“枝条”，甚至看上去好像是直线把椭圆“包裹”出来的，数学上称这种情况为直线族的包络.下面我们来讨论小椭圆是如何被“包裹”出来的.建立平面直角坐标系，设大椭圆的标准方程为： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，
在这个大椭圆上“均匀”地取 $n$ 个点，这些点的坐标可以记为 $P_{k} (a cos (\frac{2 π}{n} \cdot k), b sin (\frac{2 π}{n} \cdot k)), k = 0, 1, 2, \dots, n - 1$ 大椭圆上的这 $n$ 个点可以通过一族直线（一共有 $n$ 条）.确定直线的方法如下：先取第一个点 $P_{0}$ ，第二个点 $P_{d}$ （这个点也可以看作为 $P_{0}$ 绕着椭圆中心逆时针转动一个角度 $θ$ 后得到的），由点 $P_{0}, P_{d}$ 可得到直线 $P_{0} P_{d}$ .以此类推就可以得到一系列的直线： $P_{1} P_{d + 1}$ ， $P_{2} P_{d + 2}, \dots, P_{n - 1} P_{d + n - 1}$ ，这 $n$ 条直线就形成一个直线族，这个直线族的包络线就构成一个小椭圆，直线族中每条直线都与小椭圆相切.
结合阅读材料，回答下面的问题：

(1)、若 $P_{0}$ 坐标为 $(2 \sqrt{2}, 0)$ ，大椭圆的离心率为 $e = \frac{1}{2}$ ，求大椭圆的方程

(2)、（i）直线族构成的包络线小椭圆 $C$ 与直线族的条数 $n$ 无关，但 $n$ 越大，小椭圆 $C$ 的形状越清晰.若在满足（1）的大椭圆上取 $n = 8$ 个点形成的直线族 $P_{0} P_{2}, P_{1} P_{3}, P_{2} P_{4}, P_{3} P_{5}, P_{4} P_{6}, P_{5} P_{7}, P_{6} P_{0}, P_{7} P_{1}$ ，中，求出直线 $P_{1} P_{3}$ 方程，并求出该直线族构成的包络线小椭圆 $C$ 标准方程.
（ii）若直线族中有 $l_{1} : y = - \frac{1}{2} x + m (m > 0)$ 与小椭圆 $C$ 切于点 $P$ ，另一条直线 $l_{2} : y = \frac{1}{2} x + n$ 与小椭圆 $C$ 分别交于 $A, B$ （异于点 $P$ ），与 $l_{1}$ 交于点 $Q$ ，求证： $|A Q|, |P Q|, |B Q|$ 成等比数列.

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，若 $∠ A B C = \frac{π}{4}, P A = A B = 2, E, F$ 分别为 $△ P A B, △ P C D$ 的重心.

(1)、求证： $E F$ $∥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P D ⊥ A C$ ，在线段 $P B$ 上存在一点 $M$ ，使得 $P M = λ P B$ ，且平面 $M A D$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $λ$ 的值.

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18、数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：在双曲线中（如图），任意两条互相垂直的切线 $P A, P B$ （其中 $A, B$ 为切点）的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.反之，双曲线的蒙日圆上任一点作双曲线的两条切线，两条切线垂直.已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，双曲线 $C$ 的蒙日圆方程为 $x^{2} + y^{2} = 2$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、过蒙日圆上一点 $P$ 作双曲线 $C$ 的两条切线 $P A, P B$ ，与该蒙日圆分别交于 $M, N$ 两点，若 $∠ P M N = 30^{\circ}$ ，求 $△ P M N$ 的周长.

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19、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (2 p, m) (m > 0)$ 是 $C$ 上的一点，且 $|M F| = 5$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 作直线 $l$ ，与抛物线交于 $A, B$ 两点，若 $|A B| = 16$ ，求直线 $l$ 的倾斜角.

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20、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q > 1, a_{5} = 9 a_{3}, a_{2} = 9$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = {log}_{3} a_{n}$ ，求 $\{\frac{1}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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