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相关试卷

1、已知某工厂在生产和销售某种产品的过程中，年利润y（单位：百万元）是关于投资成本 $x$ （单位：百万元）的函数.下表是该工厂最近几年来的年利润与年投资成本的一组数据：
年份
2021
2022
2023
2024
…
投资成本 $x$
1
2
3
4
…
年利润 $y$
1
2
$\frac{7}{2}$
$\frac{23}{4}$
…
给出以下三个函数模型：① $y = k x + b$ ；② $y = k a^{x} + b (a > 0, a \neq 1)$ ；③ $y = \log_{a} (x + b) (a > 0, a \neq 1)$ .

(1)、从以上三种函数模型中选出最符合上述数据的函数模型，并求出该解析式；

(2)、若今年的投资成本为5百万元，预计今年的年利润为多少百万元？

(3)、若想要年利润达到15百万元及以上，则投资成本至少需要多少百万元（精确到0.01）.
（参考数据： $\lg 2 = 0.301, \lg 3 = 0.477$ ）

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2、某学校高一（10）班共有50名学生，在某次期中测试中，老师将这50名学生的历史科成绩（单位：分）按 $[60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ 分成4组，并绘制成下面的频率分布直方图．

(1)、求图中 $m$ 的值，并利用各组的中间值估计这50名学生历史科成绩的平均数；

(2)、若采用分层抽样的方法分别从成绩在[70，80），[90，100]的学生中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人来了解他们的学习状况，求抽取的2人成绩不在同一组的概率．

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3、已知集合 $A = \{x |- 1 < x < \frac{1}{2}\}$ ，集合 $B = \{x |2 a - 1 < x < a + 1\}$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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4、（1）计算： $\ln \sqrt{e} + \lg 10 + 2^{1 + \log_{2} 3} + {(\frac{8}{27})}^{- \frac{1}{3}}$ ；
（2）已知正实数 $x$ 满足 $x - x^{- 1} = 3$ ，求 $x + x^{- 1}$ 的值：

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5、已知 $f (x) = |3^{x} - 1| + \frac{3}{2}$ ，若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} - (a + 2) f (x) + 2 a = 0$ 有四个实根，则实数 $a$ 的取值范围是.

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6、设 $x_{1}, x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 x + 2 a = 0$ 的实数根，若 $(1 - x_{1}) (1 - x_{2}) = - 1$ ，则 $a =$ .

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7、已知幂函数 $f (x)$ 过点 $(2, 4)$ ，求 $f (9) =$ .

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8、已知函数 $f (x)$ 对任意实数x，y都满足 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，且 $f (1) = - 1$ ，以下结论正确的有（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x + 2)$ 是偶函数 C、 $f (x + 1)$ 是奇函数 D、 $f (0) + f (1) + f (2) + \dots + f (2025) = 0$

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9、下列命题正确的有（）

A、函数 $f (x) = a^{x - 1} + 1 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 过定点 $(1, 2)$ B、函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[0, 1]$ ，则 $f (2^{x})$ 的定义域为 $[2, 4]$ C、不等式 $| 2 x - 3 | > 5$ 的解集为 ${x ∣ x < - 1$ 或 $x > 4}$ D、函数 $y = \sqrt{x^{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 的最小值为2

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10、已知 $a > b > 0, m > 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a m < b m$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $b^{2} < a^{2}$ D、 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$

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11、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，若对于任意的 $x_{1}, x_{2} \in (- \infty, 0]$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，且 $f (1) = 0$ ，则不等式 $\frac{f (2 x)}{x - 1} > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(- 1, 1) \cup (1, + \infty)$

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12、已知任意正实数x，y满足 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1$ ，则 $x + \frac{y}{2}$ 的最小值是（）

A、 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、5 D、 $3 + \sqrt{2}$

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13、新高考选科要求 $3 + 1 + 2$ ，语数外+（物理、历史）二选一+（政治、地理、化学、生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B“选历史”，事件C“选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（）

A、事件C与事件D互斥 B、 $P (C) = \frac{1}{6}$ C、事件A与事件B对立 D、 $P (C D) = \frac{4}{5}$

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14、已知函数 $f (x) = \ln (x^{2} - 2 x)$ ，则 $f (x)$ 的单调减区间为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(2, + \infty)$

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} {l o g}_{2} x, x \geq 5 \\ x | x - 2 |, x < 5 \end{matrix}$ ，则 $f (f (4)) =$ （）

A、3 B、8 C、-8 D、2

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16、函数 $f (x) = 2^{x} + x - 8$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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17、已知命题 $P : \forall x > 1, x^{2} - x > 0$ ，则命题 $P$ 的否定是（）

A、 $\forall x > 1, x^{2} - x \leq 0$ B、 $\exists x \leq 1, x^{2} - x > 0$ C、 $\forall x \leq 1, x^{2} - x \leq 0$ D、 $\exists x > 1, x^{2} - x \leq 0$

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18、已知集合 $A = {- 1, 2, 3, 4}, B = {0, 2, 4}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、[2，4] B、 ${0, 2, 4}$ C、 ${- 1, 0, 2, 3, 4}$ D、 ${2, 4}$

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19、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = \frac{1}{2} A B$ ，底面ABCD是边长为2的菱形， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，平面 $B D D_{1} B_{1} ⊥$ 平面ABCD，点 $O_{1}$ ， O分别为 $B_{1} D_{1}$ ， BD的中点， $O_{1} B = 1$ ， $∠ A_{1} A B$ ， $∠ O_{1} B O$ 均为锐角.

(1)、求证： $A C ⊥ B B_{1}$ ；

(2)、若顶点 $A_{1}$ 到底面ABCD的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求二面角 $B - A A_{1} - C$ 的平面角的余弦值.

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20、求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)、长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上；

(2)、过点 $(3, 0)$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ；

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年份	2021	2022	2023	2024	…
投资成本 $x$	1	2	3	4	…
年利润 $y$	1	2	$\frac{7}{2}$	$\frac{23}{4}$	…