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相关试卷

1、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，面对角线 $A_{1} D$ ， $C D_{1}$ 上各有一个动点 $M$ ， $N$ ，使得直线 $M N //$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ .

(1)、当 $M$ ， $N$ 为对角线 $A_{1} D$ ， $C D_{1}$ 的中点， $T$ 为 $C D$ 的中点时，证明：平面 $M N T //$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ；

(2)、当正方体棱长为2时，求线段 $M N$ 长度的最小值.

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2、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $F$ 为 $C D$ 的中点， $G$ 为 $B C$ 上一点且满足 $\vec{C G} = 2 \vec{G B}$ ， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B F}$ ， $\vec{D G}$ ；

(2)、若 $A = 60 °$ ， $A B = 3, A D = 2$ ，求向量 $\vec{B F}$ ， $\vec{D G}$ 夹角的余弦值.

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3、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点.
（1）求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A C E$ ；
（2）求异面直线 $A E$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值.

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4、如图，2024年元宵节在浙江桐乡凤凰湖举行“放孔明灯”活动.为了测量孔明灯的高度，在地上测量了一根长为200米的基线 $B C$ ，在点 $B$ 处测量这个孔明灯的仰角为 $∠ O B A = 45 °$ ，在 $C$ 处测量这个孔明灯的仰角为 $∠ O C A = 30 °$ ，在基线 $B C$ 上靠近 $B$ 的四等分点处有一点 $P$ ，在 $P$ 处测量这个孔明灯的仰角为 $∠ O P A = 60 °$ ，则这个孔明灯的高度 $O A =$ .

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5、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 不共线，且两两所成角相等，若 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{c}| = 1$ ， $λ > 0$ ，则 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - λ \vec{c})$ 的值为.

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6、如果 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是（）

A、 $\vec{a} = \vec{b} = 1$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

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7、折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形 $O C D$ ，其中 $∠ A O B = 120 °$ ， $O D = 4$ ， $O B = 1$ ，动点 $P$ 在弧 $C D$ 上（含端点），连接 $O P$ 交扇形 $O A B$ 的弧 $A B$ 于点 $Q$ ，且 $\vec{O P} = x \vec{O C} + y \vec{O D}$ ，则下列说法错误的是（）

A、若 $y = x$ ，则 $x + y = 2$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{P Q} > - 5$ C、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} \geq \frac{23}{2}$ D、若 $y = 3 x$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O P} = 0$

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8、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{B D} = \vec{b}$ ，则用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{A D}$ 和 $\vec{A B}$ 分别是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ 和 $\vec{a} - \vec{b}$ B、 $\vec{a} - \vec{b}$ 和 $\vec{a} + \vec{b}$ C、 $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ 和 $\frac{\vec{a} - \vec{b}}{2}$ D、 $\frac{\vec{a} - \vec{b}}{2}$ 和 $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

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9、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2

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10、已知函数 $y = g (x)$ 的对应关系如表所示，函数 $y = f (x)$ 的图象是如图所示，则 $g [f (1)]$ 的值为（）
$x$
1
2
3
$g (x)$
4
3
-1

A、-1 B、0 C、3 D、4

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11、设 $n \geq 5$ 为正整数， $0 < a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ 为正实数列．我们称满足 $\frac{a_{j} - a_{i}}{a_{k} - a_{j}} = r$ （其中 $1 \leq i < j < k \leq n$ ）的三元数组 $(i, j, k)$ 为“ $r -$ 比值组”.

(1)、若 $n = 5$ ，且 ${a_{n}}$ 为等差数列，写出所有的 $1 -$ 比值组；

(2)、给定正实数 $r$ ，证明：中位数为4（即 $(i, j, k)$ 中 $j = 4$ ）的 $r -$ 比值组至多有3个；

(3)、记 $r -$ 比值组的个数为 $f_{n} (r)$ ，证明： $f_{n} (r) < \frac{n^{2}}{4}$ .

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2, S_{4} = 2 a_{5}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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13、已知函数 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{2} \ln \frac{x}{2} + a x$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上没有零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14、“ $\sin θ \cdot \cos θ > 0$ ”是“ $θ$ 为第一象限角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知直线 $2 x + 3 y - 6 = 0$ 经过椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点 $A$ 和上顶点 $B$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程及离心率；

(2)、与直线 $A B$ 平行的直线 $l$ 交 $C$ 于 $M, N$ 两点（ $M, N$ 均不与 $C$ 的顶点重合），设直线 $A M$ ， $B N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值．

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A D ⊥ A B$ ， $C D ∥ A B$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = P D$ ， $A D = C D = 2$ ， $A B = 4$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A D$ .

(2)、若平面 $P B C$ 与平面 $A B C D$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，求点 $C$ 到平面 $P A B$ 的距离.

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17、2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌，共91枚奖牌，创造了境外参加奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识测试，根据测试成绩，将所得数据按照 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示.

(1)、求测试成绩的中位数（结果精确到小数点后一位）；

(2)、采用分层随机抽样的方法从成绩在 $[40, 60)$ 内的学生中抽取5人，再从抽取的这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人的成绩在 $[50, 60)$ 内的概率.

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18、已知 $y = f (x + 1)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x + 4) = f (2 - x)$ ，当 $x \in [- 1, 1)$ 时， $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ ，则 $f (1) =$ ， $f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2025) =$ .

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19、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 9$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 1}{1 - a_{n}}$ ，则 $a_{2024} =$ .

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20、已知球 $O$ 的表面积为 $144 π$ ，正四棱锥的顶点为 $O$ ，底面的四个顶点均在球 $O$ 的球面上，底面边长为4，则该正四棱锥的高为.

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$x$	1	2	3
$g (x)$	4	3	-1