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相关试卷

1、若连续函数 $f (x)$ 满足 $f^{″} (x) + f (x) = 0$ 在定义域内恒成立，则称 $f (x)$ 为“T函数”.

(1)、判断以下函数是否为“T函数”，请说明理由.
（ⅰ） $y = 1$ ；
（ⅱ） $y = e^{x}$ ；
（ⅲ） $y = \sin x$ .

(2)、若非常值函数 $f (x)$ 存在二阶导数，证明： $f (x)$ 为“T函数”的充要条件是 $y = {(f (x))}^{2} + {(f^{'} (x))}^{2}$ 为常值函数.

(3)、已知非常值函数 $f (x)$ 为“T函数”，且 $f (0) = f^{'} (0) = 1$ .记 $[x]$ 为不超过x的最大整数，讨论函数 $y = \frac{[f (x)]}{x}$ 在区间 $(0, π)$ 上的单调性.

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2、在一个不透明的袋子中放有n个除颜色外完全相同的小球，其中有m个红色球与 $(n - m)$ 个白色球（满足 $m < n$ 且n， $m \in N^{*}$ ）.现设计如下试验流程：每次从袋中随机摸取一球，若为红色球则定义为“成功”事件，每次“成功”后将对应红球永久移除；若抽取为白色球则将其放回袋中并重新摇匀，试验持续至袋中无红色球时终止.

(1)、当 $n = 5$ ， $m = 2$ 时，求前两次摸取过程中恰发生一次“成功”事件的概率；

(2)、设 $p = \frac{m}{n}$ ，若第X次摸取时试验首次出现“成功”事件，记随机变量X的数学期望为 $E (X)$ ，试比较 $E (X)$ 与 $\frac{1}{p}$ 的大小；

(3)、基于随机变量可加性原理 $E (Y_{1} + Y_{2}) = E (Y_{1}) + E (Y_{2})$ ，当 $n = 10$ ， $m = 4$ 时，设试验终止时的累计抽取次数为 $ξ$ .证明： $E (ξ) \leq \frac{33}{2}$ .

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3、如图，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左右顶点分别为A，B，椭圆上有一动点D（异于A，B），点E为线段 $A D$ 的中点，点O为坐标原点.直线 $x = 2$ 与直线 $O E$ 相交于点M.已知 $△ D A F_{2}$ 面积有最大值为 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ .

(1)、当点M坐标为 $(2, - 2)$ 时，求 $|A D|$ ；

(2)、证明： $M F_{2} ⊥ A D$ .

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4、如图，已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $13 \sqrt{3}$ ，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A D // B C$ ， $B C = 2 A D = 2 C D = 6$ ， $A_{1} D_{1} = 1$ ， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $B D$ 与 $A C$ 相交于点E.

(1)、证明： $B D ⊥ C_{1} D$ ；

(2)、求平面 $A C_{1} E$ 与平面 $D C_{1} E$ 的夹角的余弦值.

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5、已知在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边记为a，b，c，设其外心为O.若 $\frac{a}{\cos A} = \frac{a + b + c}{\cos A + \cos B + \cos C}$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ O B C$ 的面积.

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6、圆台内有一个球，与圆台的上下底面及所有母线均相切，则圆台与球的体积比的取值范围为.

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7、设直线 $2 \sqrt{3} x - 2 y - \sqrt{3} = 0$ 与抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点.若 $|A F| - |B F| = \frac{4}{3}$ ，则点F的坐标为.

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8、已知函数 $f (x) = ln \frac{x + 1}{1 - x} + a (a \in R)$ 为奇函数，则 $f (\frac{1}{3}) =$ .

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9、如图所示，某游戏闯关者需从区域Ⅰ内的定点P快速移动至区域Ⅱ内的定点Q.两区域以直线l为分界线，已知P，Q两点到直线l的距离分别为1，2，且向量 $\vec{P Q}$ 在直线l的方向向量上的投影向量的模长为3，考虑到两区域通行环境差异，设定闯关者在区域Ⅰ的移动速率为a，在区域Ⅱ中的移动速率为b，线段 $P Q$ 与直线l相交于点A，若图示折线路径 $P B Q$ 是耗时最短的闯关路线.则下列说法正确的有（）

A、存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{B A} = λ \vec{B P} + (1 - λ) \vec{B Q}$ B、若 $\tan ∠ B Q P = \frac{1}{7}$ ，则 $A B = \frac{1}{2}$ C、 $a < b$ D、 $b \cos ∠ P B A + a \cos ∠ Q B A = 0$

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10、已知定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 满足： $f^{'} (x) > 2$ ，若单调递增数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $\{\begin{cases} a_{1} = 1, \\ a_{n + 1} = f (a_{n}), n \in N^{*}, \end{cases}$ 则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 的通项公式是 $a_{n} = n$ B、函数 $y = f (x) - 2 x$ 是增函数 C、 $\{a_{n}\}$ 可能是等比数列 D、若 $a_{2} = 2$ ，则 $a_{100} > 10^{9}$

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11、已知 $α$ 为锐角，若 $\tan 2 α = \frac{3 \sin α}{\cos α + \sin α}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $α$ 的终边经过点 $(3, 1)$ B、 $sin (π + α) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\sqrt{1 + \cos 2 α} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、若 $α + β = \frac{π}{4}$ ，则 $\tan β = \frac{1}{2}$

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12、若数轴上有一个质点位于 $x = 0$ 处，每次运动它都等可能地向左或向右移动一个单位，已知它在第10次运动后首次到达 $x = 6$ 处，则它在运动过程中没有重返过原点的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{13}{27}$ C、 $\frac{28}{45}$ D、 $\frac{7}{15}$

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13、已知A，B，C是函数 $f (x) = |2 - \log_{3} x|$ 图象上的三点，A在x轴上，且 $B C / / x$ 轴，若 $B C = 24$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值为（）

A、0 B、－1 C、－107 D、82

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14、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P，Q分别为棱 $A A_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 上的动点（可与端点重合），若 $P Q / /$ 面 $A B_{1} C$ ，则线段 $P Q$ 的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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15、如图是函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的图象，则 $ω$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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16、设 ${(1 - 2 x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{3}$ 的值为（）

A、20 B、－20 C、160 D、－160

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17、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{2} = 3$ ， $S_{5} = 25$ ，则 $a_{3} + 2 a_{6} =$ （）

A、17 B、21 C、23 D、27

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18、若复数z满足 $z (1 + i) = 1 - 3 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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19、已知集合 $A = \{x| 2^{x} < 4\}$ ， $B = \{1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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20、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = k P A$ ，点 $O$ ， $D$ 分别是 $A C$ ， $P C$ 的中点. $O P ⊥$ 底面 $A B C$ .

(1)、求证： $O D / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、当 $k$ 取何值时， $O$ 在平面 $P B C$ 内的射影恰好为 $△ P B C$ 的重心？

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