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相关试卷

1、阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中记载：计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的面积为 $2 π$ ，两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $A$ 是椭圆 $C$ 上的动点，点 $B$ 是点 $A$ 关于原点的对称点，若四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的周长为8，则四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 面积的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、4 D、2

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2、若等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = - 1, a_{1} - a_{3} = - 3$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、4 B、 $- 8$ C、 $- 5$ D、8

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3、已知点 $(x_{0}, y_{0})$ 为直线 $x + 2 y + 6 = 0$ 上任意一点，则 $\sqrt{{(x_{0} + 1)}^{2} + {(y_{0} - 1)}^{2}}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{9 \sqrt{5}}{5}$

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4、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间向量的一个基底，若向量 $\vec{p} = 4 \vec{a} + 2 \vec{b} + 3 \vec{c}$ ，且向量 $\vec{i} = \vec{a} + \vec{b}, \vec{j} = \vec{a} - \vec{b}, \vec{k} = \vec{c}$ ，则用基底 $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$ 表示向量 $\vec{p}$ 为（）

A、 $\vec{p} = 3 \vec{i} + \vec{j} + 3 \vec{k}$ B、 $\vec{p} = 3 \vec{i} + 3 \vec{j} + \vec{k}$ C、 $\vec{p} = \vec{i} + 3 \vec{j} + 3 \vec{k}$ D、 $\vec{p} = \vec{i} + \vec{j} + 3 \vec{k}$

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5、过点 $P (2, 4)$ 的直线与圆 $O : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 相切于点 $A$ ，则切线段 $P A$ 长为（）

A、3 B、4 C、 $\sqrt{17}$ D、5

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6、已知空间向量 $\vec{a} = (2, 0, 2), \vec{b} = (0, 1, 1)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$ （）

A、 $(2, 0, 0)$ B、 $(2, 2, 0)$ C、 $(2, 0, - 2)$ D、 $(2, - 2, 0)$

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7、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 18$ ，则 $a_{1} + a_{9} =$ （）

A、6 B、8 C、10 D、12

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8、已知抛物线的焦点是 $F (1, 0)$ ，则抛物线的标准方程为（）

A、 $y^{2} = 4 x$ B、 $y^{2} = - 4 x$ C、 $x^{2} = 4 y$ D、 $x^{2} = - 4 y$

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9、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ .若存在实数 $a$ ，使得对于任意 $x_{1} \in D$ ，都存在 $x_{2} \in D$ ，使得 $x_{1} + f (x_{2}) = a$ ，则称函数 $y = f (x)$ 具有性质 $P (a)$ .

(1)、分别判断： $y = 2^{x}$ 及 $y = 2 x + 1$ 是否具有性质 $P (0)$ ；（结论不需要证明）

(2)、若函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，且具有性质 $P (1)$ ，证明：“ $1 \in D$ ”是“函数 $y = f (x)$ 存在零点”的充分非必要条件；

(3)、已知 $t \in R$ ，设 $g (x) = t x^{2} + 2 x$ ，若存在唯一的实数 $a$ ，使得函数 $y = g (x)$ ， $x \in [0, 2]$ 具有性质 $P (a)$ ，求 $t$ 的值.

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10、已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{a}{2^{x}}$ 是定义在R上的奇函数．

(1)、求 $a$ 的值，并用定义证明 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x \in [2, 3]$ 时，不等式 $f (2 t x - 1) + f (x^{2}) \geq 0$ 有解，求实数 $t$ 的取值范围．

(3)、若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [- 2, 1]$ 时，不等式 $|f (x_{1})| - |f (x_{2})| \leq |m + \frac{9}{4 m}|$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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11、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} \cos x \sin (x + \frac{π}{4}) - 1$ ．

(1)、求 $f (\frac{π}{4})$ 的值及 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值，以及取最值时x的值．

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12、（1）已知 $α = \frac{π}{6}$ ，求 $\frac{cos (\frac{7 π}{2} - α) tan (α + π) cos (2 π - α)}{{cos}^{2} (α + \frac{5 π}{2}) sin (\frac{3 π}{2} + α)}$ 的值.
（2）已知 $a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} = 2$ ，求 $\frac{a - a^{- 1}}{a^{2} + a^{- 2} + 2}$ 的值.

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13、田同学向肖老师请教一个问题：已知三个互不相同的实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a + b + c = 1$ 和 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$ ，求 $a b c$ 的取值范围.肖老师告诉他：函数 $y = x^{3} - x^{2} - x$ 在区间 $(- \infty, - \frac{1}{3}]$ 上是严格增函数，在区间 $[- \frac{1}{3}, 1]$ 上是严格减函数，在区间 $[1, + \infty)$ 上是严格增函数.根据肖老师的提示，可求得该问题中 $a b c$ 值范围是.

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14、如图，以Ox为始边作钝角α，角α的终边与单位圆交于点P（x₁ ， y₁），将角α的终边顺时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得到角β．角β的终边与单位圆相交于点Q（x₂ ， y₂），则x₂﹣x₁的取值范围为．

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\log_{2} x|, 0 < x < 4 \\ 2 \cos \frac{π}{2} x, 4 \leq x \leq 8 \end{array}$ ， $\exists t \in R$ ，使方程 $f (x) = t$ 有4个不同的解：分别记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则下列说法正确的是（）.

A、 $0 < t < 2$ B、 $x_{3} + x_{4} = 6$ C、 $32 < \frac{x_{3} x_{4}}{x_{1} x_{2}} < 35$ D、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 的最小值为14

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16、下列命题中正确的是（）

A、点（ $\frac{5 π}{12}$ ， 0）是函数 $f (x) = \tan (2 x - \frac{π}{3})$ 的一个对称中心 B、函数 $f (x) = \lg (x^{2} + a x + a)$ 的值域为R，则 $a \geq 4$ 或 $a \leq 0$ C、若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的弧长为 $π$ ，则该扇形面积为 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\tan 1.5 > \sin 1.5 > \cos 1.5$

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17、已知实数 $m$ ， $n$ 满足 $2^{m} > 2^{n}$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $\cos m < \cos n$ B、 $\log_{\frac{1}{3}} m < \log_{\frac{1}{3}} n$ C、 $e^{3 m + 2} > e^{3 n + 2}$ D、 $\sqrt[3]{m} > \sqrt[3]{n}$

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18、已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{0.5}$ ， $b = \log_{2} 0.3$ ， $c = a^{b}$ ，则a，b，c的大小关系是

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $a < c < b$

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19、函数 $f (x) = 2 x^{2} - 1 - 3^{x}$ 的零点个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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20、设全集 $U$ 与集合 $M$ ， $N$ 的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）

A、 $M \cap N$ B、 $M \cup N$ C、 $\bar{M} \cup N$ D、 $\bar{M} \cap N$

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