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相关试卷

1、如图，平行四边形 $O A D B$ 的两条对角线相交于点C，点 $M, N$ 满足 $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ， $\vec{C N} = \frac{1}{3} \vec{C D}$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，且 $|\vec{b}| = \sqrt{3} |\vec{a}|$ ．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{M N}$ ；

(2)、若 $M N ⊥ A B$ ，求 $∠ A O B$ ．

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2、已知向量 $\vec{a} = (2 \sin x, \sqrt{3} \cos x)$ ， $\vec{b} = (\sin x, 2 \sin x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 图象的对称轴；

(2)、若 $f (x) < \frac{m}{10}$ 在 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 上有解，求整数m的最小值．

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3、在① $\tan α = 4 \sqrt{3}$ ， ② $7 \sin 2 α = 8 \sqrt{3} \cos α$ ， ③ $\tan \frac{α}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.
已知 $0 < β < α < \frac{π}{2}$ ， _____， $\cos (α - β) = \frac{13}{14}$ .
（1）求 $\sin (α + \frac{5 π}{6})$ 的值；
（2）求 $β$ .

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4、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) = - 6$ ，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ .

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$

(3)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ .

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5、已知 $\tan \frac{α}{2} = \frac{1}{2}$ ，求

(1)、 $\sin α, \cos α$ 及 $\tan α$ 的值；

(2)、 $\sin (α - \frac{π}{4})$

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6、如图，在△ABC中， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， M是BC边上的中点，P是AM上一点，且满足 $\vec{B P} = \frac{1}{3} \vec{B A} + m \vec{B C}$ ，则 $\vec{B P} \cdot \vec{A M} =$ .

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7、已知扇形的圆心角为 $120^{\circ}$ ，弧长为 $π$ ，则该扇形的面积为．

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8、将函数 $f (x) = \sin \frac{1}{2} ω x (ω > 0)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{4 ω}$ 个单位长度，所得图象对应的函数为 $g (x)$ ，若 $g (x)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有5个零点，则（）

A、 $g (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4})$ B、 $g (x)$ 在 $(0, \frac{π}{20})$ 单调递增 C、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{19}{4}, \frac{23}{4})$ D、 $y = g (x) - 1$ 在 $(0, π)$ 有且仅有3个零点

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9、对于任意的两个向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $λ \in R$ ，下列命题一定正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ B、 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | = λ$ C、 $| \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |$ D、 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | \leq | \vec{a} | | \vec{b} |$

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10、已知 $M$ 是边长为1的正 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上的动点， $N$ 为 $A B$ 的中点，则 $\vec{B M} \cdot \vec{M N}$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{4}, - \frac{23}{64}]$ B、 $[- \frac{3}{4}, - \frac{1}{2}]$ C、 $[- \frac{2}{5}, - \frac{1}{5}]$ D、 $[- \frac{3}{5}, - \frac{23}{64}]$

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11、已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $\vec{b} = (0, - 1)$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、0° B、90° C、135° D、180°

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12、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 中点，那么向量 $\frac{1}{2} \vec{A D} + \vec{A E}$ 等于（）

A、 $\vec{A B}$ B、 $\vec{A C}$ C、 $\vec{B C}$ D、 $\vec{B E}$

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13、若角 $θ$ 的终边与单位圆的交点坐标是 $(a, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，则 $\cos (\frac{π}{2} + θ) =$ (　　)

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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14、下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0, 0)$ ， $\vec{e_{2}} = (1, - 2)$ B、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ C、 $\vec{e_{1}} = (3, 5)$ ， $\vec{e_{2}} = (6, 10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (5, 7)$

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15、如图，斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是正三角形， $E, F, G$ 分别是侧棱 $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}$ 上的点，且 $A E > C G > B F$ ，设直线 $C A, C B$ 与平面 $E F G$ 所成的角分别为 $α, β$ ，平面 $E F G$ 与底面 $A B C$ 所成的锐二面角为 $θ$ ，则（）

A、 $sin θ < sin α + sin β, cos θ \leq cos α + cos β$ B、 $sin θ \geq sin α + sin β, cos θ < cos α + cos β$ C、 $sin θ < sin α + sin β, cos θ > cos α + cos β$ D、 $sin θ \geq sin α + sin β, cos θ \geq cos α + cos β$

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $\sin C = \frac{c}{3} \cos \frac{B}{2}$ ， $b = 3$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 的面积范围.

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17、已知正 $△ A B C$ 的边长为1，中心为 $O$ ，过 $O$ 的动直线 $l$ 与边 $A B, A C$ 分别相交于点 $M 、 N, \vec{A M} = λ \vec{A B}, \vec{A N} = μ \vec{A C}, \vec{B D} = \vec{D C}$ ．

(1)、若 $\vec{A N} = 2 \vec{N C}$ ，求 $\vec{A D} \cdot \vec{B N}$ ．

(2)、求 $△ A M N$ 与 $△ A B C$ 的面积之比的最小值．

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18、已知角 $A$ 是 $△ A B C$ 的内角，若 $\overset{⃑}{a} = (\sqrt{3} \sin A, \cos A)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, - 1)$ .
(1)若 $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{b}$ ，求角A的值；
(2)设 $f (x) = \overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ ，当 $f (x)$ 取最大值时，求 $\overset{⃑}{a}$ 在 $\overset{⃑}{b}$ 上的投影向量（用坐标表示）.

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19、已知复数 $z = \frac{1 - 2 m i}{1 + i}$ （ $m \in R$ ， $i$ 为虚数单位）．

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $|z|$ ；

(2)、设 $\bar{z}$ 为复数z的共轭复数，若 $\bar{z} - 3 z$ 不是纯虚数，求m的取值范围．

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20、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ ．

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