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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{x - a} - a x$ 的最小值是0．

(1)、求 $a$ ；

(2)、若实数 $m$ ， $n$ 满足 $m n = e^{m - 1} + n ln n$ ，求 $m n$ 的最小值．

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $a c (1 + 2 cos B) = {(a - c)}^{2}$ ．

(1)、求 $\frac{{sin}^{2} B}{sin A sin C}$ ；

(2)、求角 $B$ 的最大值．

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3、设 $A$ ， $B$ 为抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上不同象限内的两点，且直线 $A B$ 的斜率为1．记 $O$ 为原点，则 $∠ A O B$ 的取值范围是．

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a + c = 2 b$ ，则 $tan \frac{B}{2}$ 的最大值是．

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5、 ${(1 + x)}^{6} + {(1 - x)}^{6}$ 的展开式中的所有项的系数之和是．

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6、直线 $y = a x + b$ 与曲线 $y = b x^{3} + x^{2} + a$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式是 $a_{n} = \frac{n^{2}}{3^{n}} (n \in N^{*})$ ，记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{n} > 1$ B、 $S_{n} > \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3^{n}})$ C、 $n = 2$ 时， $a_{n}$ 取最大值 D、 $S_{n} > n$

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8、如图，国家统计局发布了自1990年至2023年的国家城镇化率与人口总数的关系，其中横坐标为年份，纵坐标为人口总数，每一年的数据点对应一个圆，圆的半径与城镇化率成正比．根据图像估计，下列说法正确的是（）

A、自1990年至2023年，我国人口总数大致呈增长趋势 B、自1990年至2023年，我国城镇化率大致呈增长趋势 C、自1990年至2023年，我国人口增长速率呈增长趋势 D、自1990年至2023年，我国城镇化率与人口总数正相关

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9、在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ， $A B = 2$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别是 $A D$ ， $B C$ 的中点， $M$ ， $N$ 分别是线段 $A D$ ， $D C$ 上的动点，且 $| A D | \cdot | A_{1} M | = | D N |$ ，记 $A_{2} M$ 和 $A_{1} N$ 的交点为 $Q$ ，则 $Q$ 的轨迹的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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10、已知函数 $f (x) = tan(ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上有定义，则 $f (\frac{π}{6})$ 的值不可能是（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、2 D、4

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11、抛掷一枚均匀的正四面体骰子，骰子静止后，认为朝下的面所包含的三条棱接触过地面，则经过3次抛掷后，存在从未接触过地面的棱的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{8}$

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12、一四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为 $\sqrt{2}$ 的等边三角形，则该四棱锥的体积是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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13、已知 $α$ 是第一象限角，若 $sin 2 α = {cos}^{2} α$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、0 C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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14、已知平行四边形 $A B C D$ 满足 $\vec{A B} = (1, 0)$ ， $\vec{A D} = (2, 1)$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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15、若复数 $z = 2 + i$ （i为虚数单位），则 $\frac{z}{\bar{z}} =$ （）

A、 $\frac{3 - 4 i}{5}$ B、 $\frac{4 - 3 i}{5}$ C、 $\frac{3 + 4 i}{5}$ D、 $\frac{4 + 3 i}{5}$

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16、若集合 $A = \{x ∣ a x^{2} + 1 = 0\}$ 是空集，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 0]$

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17、某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
$800$
$100$
$60$
$30$
$10$
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.

(1)、估计一份保单索赔次数不少于2的概率；

(2)、一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记 $X$ 为一份保单的毛利润，估计 $X$ 的数学期望 $E (X)$ ；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少 $4 %$ ，有索赔的保单的保费增加 $20 %$ ，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中 $E (X)$ 估计值的大小．（结论不要求证明）

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18、已知焦点在y轴上的椭圆C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）过点 $(1,0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .设 $A, B$ 分别为椭圆 $C$ 的下顶点和上顶点， $P$ 为椭圆上异于 $A, B$ 的一点，直线 $A P, B P$ 分别与直线 $l$ ： $y = 4$ 相交于 $M, N$ 两点，且直线 $M B$ 与椭圆 $C$ 交于另一点 $H$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、判断三点 $A, H, N$ 是否共线，并证明你的结论.

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19、 $H$ 地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.
明年冬小麦统一收购价格（单位：元 $/ kg$ ）
$2.4$
$3$
概率
$0.4$
$0.6$
表1
假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.

(1)、试估计 $H$ 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为 $1500$ 元的概率；

(2)、设 $H$ 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为 $X$ 元，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、 $H$ 地区农科所研究发现，若每亩多投入 $125$ 元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加 $50 kg$ .从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.

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20、知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，过 $F_{1}$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为 $F_{2} .$

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、如图，下顶点为A，过点 $B (0, 2)$ 作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H， $G .$ 求证： $△ A B G$ 与 $△ A O H$ 的面积之积为定值，并求出该定值.

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明年冬小麦统一收购价格（单位：元 $/ kg$ ）	$2.4$	$3$
概率	$0.4$	$0.6$

赔偿次数	0	1	2	3	4
单数	$800$	$100$	$60$	$30$	$10$