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相关试卷

1、日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知 $1 t$ 水净化到纯净度为 $x %$ 时所需费用 $($ 单位：元 $)$ 为 $c (x) = \frac{4000}{100 - x} (80 < x < 100),$ 那么净化到纯净度为 $95 %$ 时所需净化费用的瞬时变化率是（）元/t.

A、 $120$ B、 $160$ C、 $- 160$ D、 $- 100$

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2、从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（）

A、60种 B、50种 C、40种 D、30种

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3、已知m、n是两条不同直线， $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 是三个不同平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $α ⊥ β$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $m ∥ α$ ， $m ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ∥ n$

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4、如图所示，已知椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，若点 $P$ 为椭圆上的点，且 $∠ P F_{1} F_{2} = 120 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积是.

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5、长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度 $d = 1 km$ ．一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度 $v_{1}$ 的大小为 $| v_{1} | = 20 km / h$ ，水流速度 $v_{2}$ 的大小为 $| v_{2} | = 4 km / h$ ．设 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 的夹角为θ（ $0 ° < θ < 180 °$ ），则（）．

A、当船的航行时间最短时， $θ = 90 °$ B、当船的航行距离最短时， $\cos θ = - \frac{1}{5}$ C、当 $θ = 30 °$ 时，船的航行时间为12分钟 D、当 $θ = 120 °$ 时，船的航行距离为 $\frac{\sqrt{7}}{2} km$

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6、已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（）

A、 $\frac{f (3) - f (1)}{2} < f^{'} (1) < f^{'} (3)$ B、 $f^{'} (3) < \frac{f (3) - f (1)}{2} < f^{'} (1)$ C、 $f^{'} (3) < f^{'} (1) < \frac{f (3) - f (1)}{2}$ D、 $f^{'} (1) < \frac{f (3) - f (1)}{2} < f (3)$

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7、有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为 $a_{m k} (m, k = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n, n \geq 3)$ ，公差为 $d_{m}$ ，并且 $a_{1 n}, a_{2 n}, a_{3 n}, \cdot \cdot \cdot, a_{n n}$ 成等差数列.

(1)、当 $d_{3} = 2$ 时，求 $a_{32}$ ， $a_{33}$ ， $a_{34}$ 以及 $a_{3 n}$ ；

(2)、证明 $d_{m} = p_{1} d_{1} + p_{2} d_{2}$ （ $3 \leq m \leq n$ ， $p_{1}$ ， $p_{2}$ 是m的多项式），并求 $p_{1} + p_{2}$ 的值；

(3)、当 $d_{1} = 1$ ， $d_{2} = 3$ 时，将数列 $\{d_{m}\}$ 分组如下： $(d_{1}), (d_{2}, d_{3}, d_{4}), (d_{5}, d_{6}, d_{7}, d_{8}, d_{9}), \cdot \cdot \cdot$ （每组数的个数构成等差数列），设前 $m$ 组中所有数之和为 ${(c_{m})}^{4} (c_{m} > 0)$ ，求数列 $\{2^{c_{m}} d_{m}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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8、举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是 $\frac{2}{3}$ ，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量 $X$ ，则 $X$ 的数学期望 $E (X) =$ ；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是．

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9、已知复数z满足 $|z| = 1$ ，则 $|z - 3 i|$ 的最大值为．

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{n^{2} + n}{2} (n \in N^{*})$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是正项等比数列，满足 $b_{1} = a_{2}$ ， $b_{3} = a_{8}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n}, (n = 2 k - 1) \\ b_{n}, (n = 2 k) \end{array} (k \in N^{*})$ ，记数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{99}$ .

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11、已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，不等式 $x f^{'} (x) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- 3, - 2) \cup (0, 2)$ B、 $(- 3, - 2) \cup (2, 3)$ C、 $(- 2, 0) \cup (0, 2)$ D、 $(- 2, 0) \cup (2, 3)$

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12、已知常数 $k$ 为非零整数，若函数 $y = f (x)$ ， $x \in [0, 1]$ 满足：对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [0, 1]$ ， $\frac{|f (x_{1}) - f (x_{2})|}{|{(x_{1} + 1)}^{k} - {(x_{2} + 1)}^{k}|} \leq 1$ ，则称函数 $y = f (x)$ 为 $N (k)$ 函数.

(1)、若函数 $y = m x$ ， $x \in [0, 1]$ 为 $N (2)$ 函数，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $y = f (x)$ 为 $N (1)$ 函数，图像在 $x \in [0, 1]$ 是一条连续的曲线， $f (0) = 0$ ， $f (1) = \frac{2}{3}$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上存在唯一的极大值点，求函数 $y = f (x)$ 最值差的绝对值的取值范围；

(3)、若 $a > 0$ ， $f (x) = \frac{1}{20} x^{2} + \frac{x}{10} + a \ln (x + 1)$ ，且 $y = f (x)$ 为 $N (- 1)$ 函数， $g (x)$ 为 $f (x)$ 的一阶导函数，对任意 $x$ ， $y \in [0, 1]$ ，恒有 $M \geq | g (x) - g (y) |$ ，记 $M$ 的最小值为 $M (a)$ ，求 $a$ 的取值范围及 $M (a)$ 关于 $a$ 的表达式.

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13、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 40 = 0$ 与抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 p x (ρ > 0)$ 交于 $M$ ， $N$ 两点， $| M N | = 8$

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、设过抛物线焦点 $F$ 的直线交 $C_{2}$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，过圆心 $C_{1}$ 的直线 $C_{1} A$ 与曲线 $C_{2}$ 的另一个交点为 $C$ ，点 $A$ 在 $C_{1}$ 与 $C$ 之间.
（i）证明：线段 $B C$ 垂直于 $x$ 轴：
（ii）记 $△ F B C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ C_{1} F C$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $8 S_{2} - S_{1}$ 的取值范围.

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14、2024年12月，为培养适应新时代要求的创新型人才，教育部办公厅发布了关于加强中小学人工智能教育的通知.为了坚持立德树人，全面贯彻党的教育方针，紧扣新时代新征程教育使命，满足面向未来的创新型人才培养需求，提升数字素养与数字技能，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在甲，乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同.已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩 $\in (80, 100]$ ，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、从乙学校竞赛分数在 $(70, 90]$ 中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E (ξ)$ ；

(2)、若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率；

(3)、现从参与竞赛的学生中随机抽取 $n (n \geq 8)$ 人，若要使 $P (Y = 8)$ 取得最大值（ $Y$ 表示 $n$ 人中优秀人数），求 $n$ 的值.

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15、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} C ⊥$ 底面 $A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A A_{1} = 2$ ， $A_{1}$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为1.

(1)、证明：平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、已知三棱锥 $B - A C C_{1}$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $A B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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16、已知函数 $f (x) = e^{2 x} - a x^{2}$ （ $a$ 为常数）.

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线在两坐标轴上的截距相等，求 $a$ 的值；

(2)、是否存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 有3个零点？若存在，求实数 $a$ 的范围；若不存在，请说明理由.

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17、已知正方形 $A B C D$ 的中心为 $O$ ， $A B = 2$ ，现将其沿对角线 $A C$ 翻折，使得 $D$ 在面 $A B C$ 内的射影为 $A C$ 的中点，且 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A D}$ ， $\vec{B F} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ， $∠ E O F =$ ，再将 $△ E O F$ 绕直线 $E F$ 旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的体积为.

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18、已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 3$ ， $∠ B A C = 60^{°}$ ， $\vec{A D} = 3 \vec{D B}$ ， $P$ 在 $C D$ 上， $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A C} + λ \vec{A D}$ ，则 $\bar{A P} \cdot \bar{B C} =$ .

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19、在复平面内，复数 $z$ 的对应点坐标为 $(1, - 2)$ ，则 $z^{2}$ 的共轭复数为.

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20、已知定义域为 $(0, + \infty)$ 的函数 $f (x)$ 满足 $\frac{f (x) + x f^{'} (x)}{e^{x}} = 1$ ， $f^{'} (1) - 1 = 0$ .数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1，且 $a_{n + 1} f (a_{n + 1}) - f (a_{n}) = - 1$ ，则（）

A、 $f (\ln 2) \cdot \ln 2 = 1$ B、 $f (n) > 1$ C、 $a_{2025} < a_{2024}$ D、 $a_{n} \geq 1$

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