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相关试卷

1、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $Δ P B C$ 是边长等于2的正三角形， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $M$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $B C ⊥ P M$ ；

(2)、若 $A C = 2 \sqrt{3} ， c o s ∠ A C P = - \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求点 $M$ 到平面 $P B C$ 的距离．

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2、已知函数 $f (x) = a ln x - b x^{2} + 1 (a, b \in R)$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处与直线 $y = 0$ 相切.

(1)、求 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e}, e^{2}]$ 上的最大值和最小值.（其中 $e = 2.718 \dots$ 为自然对数的底数）

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3、已知 $α$ 是锐角，若 $tan 2 α = \frac{3 sin α}{cos α + sin α}$ ，则 $tan α =$ ．

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4、已知公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{3} = 9, a_{3}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{4}$ 的等比中项，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{2} = 3$ B、 $d = - 1$ C、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是递增数列 D、当 $S_{n} > 0$ 时， $n$ 的最大值为8

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5、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $E ， F$ 分别是 $A P ， B C$ 上的点， $\frac{A E}{E P} = \frac{B F}{F C}$ ，则下列条件可以确定 $E F / /$ 平面 $P C D$ 的是（）

A、 $A D / / B C$ B、 $A B / / C D$ C、 $B C / /$ 平面 $P A D$ D、 $C D / /$ 平面 $P A B$

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6、已知二项展开式 ${(1 - x)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2025} x^{2025}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2025} = 0$ C、 $a_{1} + a_{2024} = 0$ D、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2024} = 2^{2024}$

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n + 1} - 1 ， n 为奇数 \\ 2 a_{n + 1} ， n 为偶数 \end{array}$ ，若 $a_{4} \in [2, 3]$ ，则 $a_{1}$ 的取值范围是（）

A、 $[2, 4]$ B、 $[1, 3]$ C、 $[3, 5]$ D、 $[5, 9]$

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8、已知随机变量 $ξ ~ N (3, 4)$ ，则“ $a = 3$ ”是“ $P (ξ < a) = \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、6

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10、双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - x^{2} = 1 (a > 0)$ 的一个焦点为 $(0, 2)$ ，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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11、记复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，若 $z = 3 + 4 i$ ，则 $\frac{1}{\bar{z}} =$ （）

A、 $\frac{3 - 4 i}{5}$ B、 $\frac{3 + 4 i}{5}$ C、 $\frac{3 - 4 i}{25}$ D、 $\frac{3 + 4 i}{25}$

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12、已知集合 $A = \{x ∣ 2^{x} > 4\}$ ，集合 $B = \{1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{3, 4\}$ C、 $\{2, 3, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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13、如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数 $y = \sqrt{3} \sin ω x (ω > 0)$ 图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $ω$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、3 D、2

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14、函数 $f (x) = \sqrt{\frac{1 - x}{3 + x}}$ 的定义域为.

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15、已知在 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中，各二项式系数和为 $512$ ．

(1)、求展开式中含 $\frac{1}{x^{5}}$ 的项；

(2)、求展开式中系数绝对值最大的项．
（参考数据： $2^{9} = 512$ ）

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16、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 3]$ 中的最大值．

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17、为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ ，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为 $\frac{1}{4}$ ，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为 $\frac{1}{2}$ ，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第 $n$ 天选择米饭套餐的概率为 $P_{n}$ ．
（i）证明： $\{P_{n} - \frac{2}{5}\}$ 为等比数列；
（ii）证明：当 $n \geq 2$ 时， $P_{n} \leq \frac{5}{12}$ ．

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18、如下图是 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[- 2, - 1]$ 上单调递增 B、 $x = - 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点； C、 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 2]$ 上单调递增，在区间 $[2, 4]$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取最大值

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19、如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数 $y = k \sqrt{x} (k > 0)$ 的图象的一部分，后一段DBC是函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ( $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ， $x \in [4, 8]$ )的图象，图象的最高点为 $B (5, \frac{8 \sqrt{3}}{3})$ ，且 $D F ⊥ O C$ ，垂足为点F．

(1)、求函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ( $x \in [4, 8]$ )的解析式；

(2)、若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为 $\frac{4}{3}$ ，点E在OC上，求儿童乐园的面积．

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20、已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x + 2 \sqrt{3} {c o s}^{2} x - \sqrt{3}$ ．
$(1)$ 求函数 $f (x)$ 的单调减区间；
$(2)$ 将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ 在 $(- \frac{π}{12}, \frac{π}{8})$ 上的值域．

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