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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, λ)$ ，若 $(\vec{b} - \vec{a}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\cos 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 =$ .

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2、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，椭圆C上有一点P，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为.

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3、若函数 $f (x) = \sin x + a \cos x$ 图象的一条对称轴方程为 $x = \frac{2 π}{3}$ ，则（）

A、 $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $a = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $f (x)$ 图象的一条对称轴为直线 $x = - \frac{π}{3}$ D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{3}, \frac{5 π}{6})$ 上单调递增

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4、若 ${(2 x - 1)}^{9} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{9} {(x + 1)}^{9}$ ，则（）

A、 $a_{0} = - 3^{9}$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{9} = 3^{9} - 1$ C、 $a_{5} = - 7 \times 6^{6}$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \dots + \frac{a_{9}}{2^{9}} = 3^{9} - 2^{9}$

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5、某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重（单位：kg），并整理数据，得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（）

A、 $m = 0.1$ B、估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为 $30 %$ C、估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间 D、估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2 a x - 2, x < 1 \\ a^{x}, x \geq 1 \end{cases}$ 满足 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $(x_{2} - x_{1}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(1, 2]$ D、 $(0, 1) \cup (1, + \infty)$

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7、某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（）

A、 $\frac{5}{3} m$ B、 $\frac{25}{12} m$ C、 $\frac{25}{6} m$ D、 $\frac{5}{4} m$

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8、已知 $\tan (\frac{π}{4} - α) = - \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{\sin 2 α + 2}{3 - \cos^{2} α} =$ （）

A、 $- \frac{13}{14}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{26}{29}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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9、直线 $l : 3 x + 4 y + 1 = 0$ 被圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 = 0$ 截得的弦长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 6$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的半径为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、6 D、12

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11、在复平面内，复数 $9 i (8 + 5 i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、设集合 $A = {x |\ln x < 1}$ ， $B = {x |- 1 \leq x \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x |- 1 \leq x < 1}$ B、 ${x |- 1 \leq x < e}$ C、 ${x |0 < x \leq 1}$ D、 ${x |0 < x < e}$

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13、已知 $f (x) = 2 x \ln x + a x^{2} + b$ 在点 $(1, f (1))$ 处与 $x$ 轴相切.

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $m > n > 0$ ，求证 $\sqrt{m n} < \frac{m - n}{\ln m - \ln n}$ .

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14、已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ ，则 $f (x) =$ （）

A、是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是增函数 B、是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是减函数 C、是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是增函数 D、是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是减函数

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15、已知函数 $f (x) = x - 2 ln x + \frac{a}{x}$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \geq 1$ 时，不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： $ln n < \frac{1}{\sqrt{2^{2} - 2}} + \frac{1}{\sqrt{3^{2} - 3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{n^{2} - n}}$ ．

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16、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ， $g (x) = x + a ln x + 1$ ．

(1)、求 $y = f (x)$ 的极值；

(2)、讨论 $g (x)$ 的单调性；

(3)、若 $a = 1$ 且 $x \in (0, + \infty)$ 时，求证 $g (x) \leq f (x)$ ．

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17、在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是正方形，四边形 $A D P Q$ 是梯形， $P D // Q A, ∠ P D A = \frac{π}{2}$ ， $C D ⊥$ 平面 $A D P Q$ ，且 $A D = P D = 2 Q A = 2$ .

(1)、求证： $Q B //$ 平面 $P D C$ ；

(2)、 $P C$ 与平面 $P B Q$ 所成角的正弦值.

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18、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 2, a_{1} = 4$ .

(1)、证明： $\{a_{n} - 1\}$ 是等比数列；

(2)、若 $b_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n}, n 为奇数 \\ {log}_{3} (a_{n} - 1), n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 3$ ， $a_{7} = 8$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前n项和S_n；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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20、某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 $20 dm \times 12 dm$ 的长方形纸，对折1次共可以得到 $10 dm \times 12 dm$ ， $20 dm \times 6 dm$ 两种规格的图形，它们的面积之和 $S_{1} = 240 {dm}^{2}$ ，对折2次共可以得到 $5 dm \times 12 dm$ ， $10 dm \times 6 dm$ ， $20 dm \times 3 dm$ 三种规格的图形，它们的面积之和 $S_{2} = 180 {dm}^{2}$ ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折 $n$ 次，那么 $\sum_{k = 1}^{n} S_{k} =$ ${dm}^{2}$ .

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