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相关试卷

1、函数 $sinh x = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$ 与函数 $cosh x = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ 分别称为双曲正弦函数与双曲余弦函数，它们在悬链线问题，相对论，复数分析，电路分析，热传导与波动方程中有广泛的应用．

(1)、判断函数 $f (x) = sinh x$ 与函数 $g (x) = cosh x$ 的奇偶性，并加以证明；

(2)、我们知道三角函数有非常多的恒等式，类似的，双曲函数也有很多恒等式，如
${cosh}^{2} x - {sinh}^{2} x = 1$
$sinh 2 x = 2 sinh x \cdot cosh x$
$cosh 2 x = {cosh}^{2} x + {sinh}^{2} x = 2 {cosh}^{2} x + 1 = 1 + 2 {sinh}^{2} x$
……
①请你用 $cosh x, cosh y, sinh x$ 与 $sinh y$ 表示 $cosh (x + y)$ 和 $sinh (x + y)$ （不要求证明）．
②若 $coth x = \frac{cosh x}{sinh x}$ ，求证： $coth (x + y) = \frac{1 + coth x coth y}{coth x + coth y}$ ．
③定义 $x \otimes y = \frac{1 + x y}{x + y}$ ，求 $(((2 \otimes 3) \otimes 4) \otimes \dots) \otimes 11$ 的值．

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x (x - 4), & x \geq 0, \\ x (x + 4), & x < 0 . \end{matrix}$

(1)、求 $f (1), f (- 3), f (a + 1)$ 的值；

(2)、用定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上是增函数；

(3)、求不等式 $f (x) \geq x$ 的解集．

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3、设函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}), f (- \frac{5 π}{12}) = - 1, f (x)$ 在区间 $[- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{12}]$ 上单调递增，在区间 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{4}]$ 上单调递减．

(1)、求 $ω, φ$ 的值；

(2)、函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $y = sin x$ 的图象经过怎样的变换得到？

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4、若 $sin (α + β) = \frac{1}{2}, sin (α - β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{tan α}{tan β} =$

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5、已知函数 $f (x) = \frac{sinπ x}{x^{2} - x}$ ，给出下列四个结论，正确的是（）

A、 $f (x)$ 存在无数个零点 B、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上有最大值 C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 上是单调递减函数 D、 $f (x)$ 的图象是轴对称图形

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6、已知 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ 是函数 $y = e^{x}$ 的图象上两个不同的点，则（）

A、 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} > 0$ B、 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 0$ C、 $ln \frac{y_{1} + y_{2}}{2} > \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ D、 $ln \frac{y_{1} + y_{2}}{2} < x_{1} + x_{2}$

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7、下列化简中，正确的是（）

A、 $\cos 10 ° - \sqrt{3} \sin 10 ° = 2 \sin 20 °$ B、 $\cos 10 ° + \sqrt{3} \sin 10 ° = 2 \sin 20 °$ C、 ${(\sin 10 ° + \cos 10 °)}^{2} = 1 + \sin 20 °$ D、 $\tan 20 ° + \tan 40 ° + \sqrt{3} \tan 20 ° \tan 40 ° = \sqrt{3}$

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8、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝ $\frac{1}{2} \log_{3} \frac{O}{100}$ ，其中 $O$ 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（　　）

A、8100 B、900 C、81 D、9

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9、 $x \in [0, 2 π]$ 时，函数 $y = sin x$ 与 $y = 2 sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象交点个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10、若“ $\exists x \in [1, 4]$ ，使得 $2 x + a + 1 \geq 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 9)$ B、 $(- \infty, - 3)$ C、 $(- 9, - \infty)$ D、 $(- 3, - \infty)$

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11、已知三个函数 $f (x) = 2^{x} + x$ ， $g (x) = x - 1$ ， $h (x) = \log_{2} x + x$ 的零点依次为a，b，c，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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12、已知 $\cos θ \cdot \tan θ > 0$ ，那么 $θ$ 是（）

A、第一、二象限角 B、第二、三象限角 C、第三、四象限角 D、第一、四象限角

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13、下列函数中，在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $f (x) = ln x$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = 2^{x}$ D、 $f (x) = 3^{|x - 1|}$

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14、若集合 $A = \{(x, y) |x + y = 0\}, B = \{(x, y) |2 x - y = 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, - 1\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{(1, - 1)\}$ D、 $\{(- 1, 1)\}$

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15、已知m、n是两条不同直线， $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 是三个不同平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $α ⊥ β$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $m ∥ α$ ， $m ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ∥ n$

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16、如图所示，已知椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，若点 $P$ 为椭圆上的点，且 $∠ P F_{1} F_{2} = 120 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积是.

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17、长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度 $d = 1 km$ ．一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度 $v_{1}$ 的大小为 $| v_{1} | = 20 km / h$ ，水流速度 $v_{2}$ 的大小为 $| v_{2} | = 4 km / h$ ．设 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 的夹角为θ（ $0 ° < θ < 180 °$ ），则（）．

A、当船的航行时间最短时， $θ = 90 °$ B、当船的航行距离最短时， $\cos θ = - \frac{1}{5}$ C、当 $θ = 30 °$ 时，船的航行时间为12分钟 D、当 $θ = 120 °$ 时，船的航行距离为 $\frac{\sqrt{7}}{2} km$

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18、已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（）

A、 $\frac{f (3) - f (1)}{2} < f^{'} (1) < f^{'} (3)$ B、 $f^{'} (3) < \frac{f (3) - f (1)}{2} < f^{'} (1)$ C、 $f^{'} (3) < f^{'} (1) < \frac{f (3) - f (1)}{2}$ D、 $f^{'} (1) < \frac{f (3) - f (1)}{2} < f (3)$

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19、有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为 $a_{m k} (m, k = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n, n \geq 3)$ ，公差为 $d_{m}$ ，并且 $a_{1 n}, a_{2 n}, a_{3 n}, \cdot \cdot \cdot, a_{n n}$ 成等差数列.

(1)、当 $d_{3} = 2$ 时，求 $a_{32}$ ， $a_{33}$ ， $a_{34}$ 以及 $a_{3 n}$ ；

(2)、证明 $d_{m} = p_{1} d_{1} + p_{2} d_{2}$ （ $3 \leq m \leq n$ ， $p_{1}$ ， $p_{2}$ 是m的多项式），并求 $p_{1} + p_{2}$ 的值；

(3)、当 $d_{1} = 1$ ， $d_{2} = 3$ 时，将数列 $\{d_{m}\}$ 分组如下： $(d_{1}), (d_{2}, d_{3}, d_{4}), (d_{5}, d_{6}, d_{7}, d_{8}, d_{9}), \cdot \cdot \cdot$ （每组数的个数构成等差数列），设前 $m$ 组中所有数之和为 ${(c_{m})}^{4} (c_{m} > 0)$ ，求数列 $\{2^{c_{m}} d_{m}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{n^{2} + n}{2} (n \in N^{*})$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是正项等比数列，满足 $b_{1} = a_{2}$ ， $b_{3} = a_{8}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n}, (n = 2 k - 1) \\ b_{n}, (n = 2 k) \end{array} (k \in N^{*})$ ，记数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{99}$ .

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