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相关试卷

1、若 ${(x - 1)}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式各项系数的绝对值之和为512，则 ${(x + 1)}^{8} {(x - 1)}^{n}$ 的展开式中 $x^{11}$ 的系数为（）

A、 $- 56$ B、56 C、 $- 70$ D、70

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2、刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 $2 π$ 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 $\frac{π}{3}$ ，则其各个顶点的曲率均为 $2 π - 3 \times \frac{π}{3} = π$ ．若正四棱锥 $S - A B C D$ 的侧面与底面的夹角的正切值为 $\sqrt{2}$ ，则四棱锥 $S - A B C D$ 在顶点S处的曲率为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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3、已知 $F$ 是抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 的焦点， $M$ 是 $C$ 上一点， $|M F| = 3$ ，则 $M$ 到 $y$ 轴的距离为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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4、给定一个数列 $\{a_{n}\}$ ，记 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ，则把数列 $\{b_{n}\}$ 称为 $\{a_{n}\}$ 的一阶差数列.若数列 $\{c_{n}\}$ 的一阶差数列 $\{t_{n}\}$ 的通项公式为 $t_{n} = n + 2^{n - 1}, c_{1} = 1$ ，则 $c_{9} =$ （）

A、556 B、557 C、292 D、291

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5、直线 $l$ ： $x + y + m = 0$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 16$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $|A B| = 4 \sqrt{2}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\pm 2$ B、 $\pm 2 \sqrt{2}$ C、 $\pm 4$ D、 $\pm 4 \sqrt{2}$

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6、已知某商店 $1 \sim 7$ 月份月利润 $y$ （单位：万元）关于其对应的月份代码 $x$ （ $1 \sim 7$ 月份的月份代码依次为 $1 \sim 7$ ）的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.525 x + \hat{a}$ ，且 $\bar{y} = 3.6$ ，则 $\hat{a} =$ （）

A、3.6 B、1.5 C、1.4 D、1.8

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7、某天小李要坐动车或高铁从广州出发去北京，已知当天动车的车次有2个，高铁的车次有10个，则小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有（）

A、2种 B、10种 C、12种 D、20种

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8、某中学举办诗词大会选拔赛，选手需要从7道选择题，3道填空题中任选2题作答，每次随机抽取一道题，抽出的题不再放回，甲同学在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到填空题的概率是.

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9、科技创新成为全球经济格局关键变量，某公司为实现1600万元的利润目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到600万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金 $y$ （单位：万元）随投资收益 $x$ （单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于20万元，且奖金总数不超过投资收益的 $10 %$ .

(1)、现有① $f (x) = 0.02 x + 5$ ；② $f (x) = {0.2}^{x} + 10$ ；③ $f (x) = 10 \log_{2} x - 50$ 三个奖励函数模型.结合函数的性质及已知条件.当 $x \in [600, 1600]$ 时，判断哪个函数模型符合公司要求？

(2)、根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到50万元，公司的投资收益至少为多少万元？

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10、函数 $y = \sqrt{1 - \tan (x - \frac{π}{4})}$ 的定义域为（）

A、 $(k π, k π + \frac{π}{4}]$ ， $k \in Z$ B、 $(k π, k π + \frac{π}{2}]$ ， $k \in Z$ C、 $(k π - \frac{π}{4}, k π + \frac{π}{2}]$ ， $k \in Z$ D、 $(k π - \frac{π}{4}, k π + \frac{π}{4}]$ ， $k \in Z$

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11、如图， $△ A B C$ 斜二测画法的直观图是 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积为 $6$ ，那么 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $12 \sqrt{2}$ B、 $24 \sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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12、若实数x，y满足 $- 2 < x < - 1$ ， $3 < y < 5$ ，则 $y - x$ 的取值范围是.

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13、设 $α$ 是平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n / / α$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m / / α$ ， $m / / n$ ，则 $n / / α$ D、若 $m, n$ 与 $α$ 所成的角相等，则 $m / / n$

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14、已知函数 $f (x) = 4 x^{2} - k x - 8$ 在 $[5, 20]$ 上具有单调性，则实数 $k$ 的取值范围．

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15、张景中院士在《与中学教师谈微积分》一文中，给出了“差商有界”函数和“广义差商有界”函数的定义，即若函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上有定义，并且存在一个正数 $m$ ，使得 $\forall u, v \in I$ 且 $u < v$ ，不等式 $\frac{|f (v) - f (u)|}{|v - u|} \leq m$ 恒成立，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上为“差商有界”函数；若函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上有定义，并且存在一个正整数 $r$ ，使得 $\forall u, v \in I$ 且 $u < v$ ，不等式 $\frac{{|f (v) - f (u)|}^{r}}{|v - u|} \leq 1$ 恒成立，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上为 “广义差商有界”函数.

(1)、已知 $f (x) = \sqrt{x}$ ，判断 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上是否是“差商有界”函数？若是，请说明理由；若不是，请讨论是否是“广义差商有界”函数?

(2)、已知函数 $f (x) = x ln x$ .
（i）判断 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上是否是“差商有界”函数？并说明理由；
（ii）若 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上是“广义差商有界”函数，求正整数 $r$ 的最小值.

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16、下列命题正确的是（）

A、若向量 $\vec{A B}, \vec{C D}$ 共线，则 $A, B, C, D$ 必在同一条直线上 B、若 $A, B, C$ 为平面内任意三点，则 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A} = \vec{0}$ C、若点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ D、已知向量 $\vec{a} = (4 + x, y - 2), \vec{b} = (x, y)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x + 2 y = 0$

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17、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x + 2}$ ，且 $f (1) = - \frac{2}{3}$ ， $f (2) = - \frac{1}{4}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(- 2, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明．

(3)、若对 $\forall x \in [0, 3]$ ， $f (x) - m \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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18、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{2} = 3$ ， $a_{3} + a_{5} = 14$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $b_{n + 1} = λ S_{n} + 1$ ，其中 $λ \neq - 1$ .

(1)、当 $λ = 1$ 时，求数列 $\{a_{n}\}$ 与数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在（1）的条件下，设数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，已知 $c_{n} = \frac{a_{n + 2}}{a_{n} a_{n + 1} b_{n + 1}}$ ，证明： $\frac{5}{6} \leq T_{n} < 1$ ；

(3)、当 $λ = - \frac{4}{3}$ 时，若数列 $\{d_{n}\}$ 满足 $d_{1} = μ$ （ $μ > 0$ ），且 $d_{n + 1} - d_{n} = - \frac{μ^{2}}{3} b_{n}$ ，若对任意正整数i，j（ $i \neq j$ ）， $|d_{i} - d_{j}| < 1$ 恒成立，求实数 $μ$ 的取值范围.

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19、在平面直角坐标系xOy中，动点 $P (x, y)$ （ $y \geq 0$ ）到点 $F (0, 1)$ 的距离与到x轴的距离之差等于1，记动点P的轨迹为 $Γ$ .

(1)、求轨迹 $Γ$ 的方程；

(2)、过直线l： $x - 2 y - 2 = 0$ 上一点Q作轨迹 $Γ$ 的两条切线，切点分别为A，B.证明：直线AB过定点，并求出定点坐标；

(3)、过点 $R (0, 4)$ 的动直线 $l^{'}$ 与轨迹 $Γ$ 交于C，D两点，直线CF交轨迹 $Γ$ 于另一点E，记△CDE，△CFR的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $S_{1} \cdot S_{2}$ 的最小值.

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20、已知函数 $f (x) = {(x - 2)}^{2} - a (\frac{1}{2} x - \ln x)$ ，其中 $a$ 为常实数.

(1)、当 $a = 4$ 时，讨论函数 $f (x)$ 在其定义域内的单调性；

(2)、若 $x_{0}$ 是函数 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2} a x$ 的极大值点，证明： $g (x_{0}) > x_{0}$ .

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