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相关试卷

1、求下列各式的值：

(1)、 $8^{\frac{2}{3}} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(\frac{16}{81})}^{- \frac{3}{4}} - {(- 2020)}^{0}$ ；

(2)、 ${(\lg 5)}^{2} + \lg 2 \lg 5 + \frac{1}{2} \lg 4 - \log_{3} 4 \times \log_{2} 3$ ；

(3)、若 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $a^{2} + a^{- 2}$ 的值．

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2、设奇函数 $f (x)$ 在（0， $+ \infty$ ）是增函数，且 $f (1) = 0$ ，则不等式 $x [f (x) - f (- x)] < 0$ 的解集为

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3、已知函数 $f (x) = \lg (x^{2} - 4 x - 5)$ 在 $(a, + \infty)$ 上单调递增，则a的取值范围是．

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4、已知函数 $f (x) = a^{x + 1} - 1$ $(a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标为．

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5、下列命题中，正确的有（）

A、函数 $y = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 与函数 $y = \sqrt{x^{2} - 1}$ 表示同一函数 B、函数 $y = 2 x + \sqrt{1 - x}$ 的值域为 $(- \infty, \frac{17}{8}]$ C、若函数 $f (\sqrt{x} - 1) = x - 3 \sqrt{x}$ ，则 $f (x) = x^{2} - x - 2 (x \geq - 1)$ D、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 2]$ ，则函数 $y = \frac{f (2 x)}{\sqrt{2^{x} - 1}}$ 的定义域为 $[0, 4]$

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} k x + 2, & x \geq 0 \\ 2^{x}, & x < 0 \end{array}$ ，若方程 $f (f (x)) = \frac{1}{2}$ 有且仅有一根，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{3}{4}, 0)$ B、 $[- \frac{3}{4}, 0)$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $(- \frac{3}{4}, + \infty)$

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7、已知 $f (x) = \{\begin{cases} (3 a - 1) x + 4 a, x < 1 \\ - x^{2} + 2 a x - 2 a + 1, x \geq 1 \end{cases}$ ，在 $(- \infty, + \infty)$ 满足 $\forall x_{1} \neq x_{2}, \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x {}_{2}} < 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $[\frac{1}{7}, \frac{1}{3})$ C、 $[\frac{1}{7}, 1)$ D、 $(0, \frac{1}{3})$

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8、设 $a = {0.3}^{2}$ ， $b = 2^{0.3}$ ， $c = \log_{\sqrt{2}} 2$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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9、幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象关于原点对称，且在 $(- \infty, 0)$ 上是增函数，则 $f (x)$ 可以是（）

A、 $f (x) = x^{- 1}$ B、 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ C、 $f (x) = x^{2}$ D、 $f (x) = x^{3}$

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10、已知 $p : - 3 < x < 1$ ， $q : \frac{x - 1}{x + 3} \leq 0$ ，则p是q的（）条件

A、既不充分又不必要 B、充要 C、必要不充分 D、充分不必要

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11、已知集合 $A = {x ∣ - 2 \leq x \leq 2, x \in R}, B = {0, 1, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 2}$ B、 $[- 2, 2]$ C、 $(0, 2)$ D、 ${0, 1, 2}$

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12、已知圆 $C_{1}$ ： ${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 和圆 $C_{2}$ ： ${(x - 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = r^{2}$ （ $r > 0$ ）.

(1)、若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相交，求r的取值范围；

(2)、若直线l： $y = k x + 1$ 与圆 $C_{1}$ 交于P、Q两点，且 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 4$ ，求实数k的值；

(3)、若 $r = 2$ ，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，它们分别与圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 相交，且直线 $l_{1}$ 被圆 $C_{1}$ 截得的弦长与直线 $l_{2}$ 被圆 $C_{2}$ 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.

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13、如图，已知圆心坐标为 $(\sqrt{3}, 1)$ 的圆 $M$ 与 $x$ 轴及直线 $y = \sqrt{3} x$ 分别相切于 $A$ 、 $B$ 两点，另一圆 $N$ 与圆 $M$ 外切，且与 $x$ 轴及直线 $y = \sqrt{3} x$ 分别相切于 $C$ 、 $D$ 两点．
（1）求圆 $M$ 和圆 $N$ 的方程；
（2）过点 $B$ 作直线 $M N$ 的平行线 $l$ ，求直线 $l$ 被圆 $N$ 截得的弦的长度．

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14、亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥 $P - O_{1}$ 与一个圆柱 $O O_{1}$ 构成的几何体 $Ω$ （如图2，其中 $P$ ， $O_{1}$ ， $O$ 三点共线）.一般地，设圆锥 $P - O_{1}$ 中母线与底面所成角的大小为 $α$ ，当 $20 ° < α < 35 °$ 时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.6米，底面半径为2.4米.圆柱高为3米，底面半径为2米.

(1)、求几何体 $Ω$ 的体积；

(2)、如图2，设 $E$ 为圆柱底面半圆弧 $C D$ 的三等分点，求圆柱母线 $E F$ 和圆锥母线 $P B$ 所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求.

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15、已知直线 $l$ ： $a x - y + 2 - a = 0$ 恒过点 $P$ ， $O$ 为坐标原点.

(1)、求点 $P$ 的坐标；

(2)、当点 $O$ 到直线 $l$ 的距离最大时，求直线 $l$ 的方程；

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16、已知点 $M (- 1, 2)$ ，直线l： $2 x + y - 5 = 0$

(1)、求点M关于点 $F (3, 1)$ 对称点 $N$ 的坐标

(2)、求过点M与直线l平行的直线.

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17、如图，圆 $C$ 分别与 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴正半轴相切于点 $A, B$ ，过劣弧 $A B$ 上一点 $T$ 作圆 $C$ 的切线，分别交 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴正半轴于点 $M, N$ ，若点 $Q (2, 1)$ 是切线上一点，则 $Δ M O N$ 周长的最小值为------------------------------------------------------------------

A、10 B、8 C、 $4 \sqrt{5}$ D、12

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18、设点 $P (x, y)$ 是曲线 $\sqrt{\frac{x^{2}}{25}} + \sqrt{\frac{y^{2}}{169}} = 1$ 上的点，又点 $F_{1} (0, - 12)$ ， $F_{2} (0, 12)$ ，下列结论正确的是（）

A、 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 26$ B、 $|P F_{1}| + |P F_{2}| < 26$ C、 $|P F_{1}| + |P F_{2}| \leq 26$ D、 $|P F_{1}| + |P F_{2}| > 26$

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19、已知点 $A (- 7, 0), B (7, 0)$ ，动点P满足 $|P A| + |P B| = 16$ ，则点P的轨迹为（）

A、椭圆 B、直线 C、圆 D、线段

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20、在如图所示的平面中，点 $C$ 为半圆的直径 $A B$ 延长线上的一点， $A B$ = $B C$ =2，过动点 $P$ 作半圆的切线 $P Q$ ，若 $P C$ = $\sqrt{2}$ $P Q$ ，则△ $P A C$ 的面积的最大值为.

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