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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，

(1)、请证明 $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = (2 n + 1) (a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 前 $n$ 项的和 $T_{n}$ ．

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2、已知椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的下焦点为 $F (0, - 2)$ ，其离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过 $F$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点（直线 $P Q$ 与坐标轴不垂直），过 $P, Q$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $M, N$ ，若直线 $P N$ 与 $Q M$ 交于点 $H$ ，证明：点 $H$ 的纵坐标为定值.

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3、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $D, E, F$ 分别是棱 $A B$ ， $B C$ ， $C P$ 的中点， $A B = A C = 1$ ， $P A = 2$ ．

(1)、求直线 $P A$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值；

(2)、求点 $P$ 到平面 $D E F$ 的距离．

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4、某环保局派遣包括张三，李四，王五在内的12名工作人员到A，B，C三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三，李四，王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有种．（结果用数字表示）

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5、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，若 $T_{5} = 32$ ，则 $a_{3} =$ .

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6、在二项式 ${(\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{2})}^{n}$ 的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（）

A、 $n = 8$ B、展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C、常数项为 $\frac{1}{16}$ D、展开式中系数最大项为第3项和第4项

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7、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3 a^{2}} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若 $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 2 e$ （ $e$ 为 $C$ 的离心率），则（）

A、 $a = 1$ B、 $C$ 的虚轴长为 $2 \sqrt{3}$ C、 $e = \sqrt{2}$ D、 $C$ 的一条渐近线的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8、用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）

A、48个 B、60个 C、72个 D、120个

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9、若直线 $l_{1} : a x + 3 y - 6 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + (a - 2) y - 2 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、3 D、 $- 3$

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10、已知非零向量 $\vec{a} = (2, 3, - 1)$ 和 $\vec{b} = (4, λ, - 2)$ 互相垂直，则 $λ$ 的值是（）

A、 $- 6$ B、 $6$ C、 $- \frac{10}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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11、在 ${(\frac{1}{\sqrt{x}} - 2 x)}^{n}$ 的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍.

(1)、求n的值；

(2)、求 ${(\frac{1}{\sqrt{x}} - 2 x)}^{n}$ 的展开式中的常数项；

(3)、求展开式中系数绝对值最大的项.

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12、某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ 的值分别是（）

A、 $\bar{x} = 9.5 ， s^{2} = 1.5$ B、 $\bar{x} = 9 ， s^{2} = 1.5$ C、 $\bar{x} = 9.5 ， s^{2} = 3$ D、 $\bar{x} = 9 ， s^{2} = 3$

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13、下列给出的命题中正确的有（）

A、已知两个向量 $\vec{a} = (1, m, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 1, n)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m n = 2$ B、三棱锥 $O - A B C$ 中，点 $P$ 为平面 $A B C$ 上的一点，且 $\vec{O P} = \frac{1}{6} \vec{O A} + x \vec{O B} + y \vec{O C} (x, y \in R)$ ，则 $x + y = \frac{5}{6}$ C、已知 $\vec{a} = (0, 1, 2)$ ， $\vec{b} = (0, 0, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量坐标为 $(0, 0, 2)$ D、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一组基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{a} + 2 \vec{b} + \vec{c}\}$ 也是空间的一组基底

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14、三角形 $A B C$ 的三边 $a, b, c$ 所对的角为 $A, B, C$ ， $1 - {(\sin A - \sin B)}^{2} = \sin A \sin B + \cos^{2} C$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $C = \frac{π}{3}$ B、若 $△ A B C$ 面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 周长的最小值为12 C、当 $b = 5$ ， $c = 7$ 时， $a = 9$ D、若 $b = 4$ ， $B = \frac{π}{4}$ ，则 $△ A B C$ 面积为 $6 + 2 \sqrt{3}$

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15、已知 $z_{1}, z_{2}$ 为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（）

A、若 $|z_{1}| \leq 1$ ，则 $- 1 \leq z_{1} \leq 1$ B、若 $|z_{1}| + |z_{2}| = 0$ ．则 $z_{1} = z_{2} = 0$ C、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ D、若 $z_{1} > z_{2}$ ，则 $z_{1} - z_{2} > 0$

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16、把 $n$ 元有序实数组 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 称为 $n$ 维向量，类似平面向量与空间向量，对于 $n$ 维向量 $\vec{i} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}), \vec{j} = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ ，也可定义两个向量的加法运算和减法运算 $\vec{i} \pm \vec{j} = (a_{1} \pm b_{1}, a_{2} \pm b_{2}, \dots, a_{n} \pm b_{n})$ ；数乘运算 $λ \vec{i} = (λ a_{1}, λ a_{2}, \dots, λ a_{n}), λ \in R$ ；向量的长度（模） $| \vec{i} | = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}}$ ；两个向量的数量积 $\vec{i} \cdot \vec{j} = | \vec{i} | \cdot |\vec{j}| \cos ⟨\vec{i}, \vec{j}⟩ = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}$ （ $⟨\vec{i}, \vec{j}⟩$ 表示向量 $\vec{i}, \vec{j}$ 的夹角， $⟨\vec{i}, \vec{j}⟩ \in [0, π]$ ）；向量 $\vec{j}$ 在向量 $\vec{i}$ 上的投影向量的模 $\frac{|\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}|}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}}} \cdot n$ 维向量为我们解决数学问题提供了更为广阔的思维空间.

(1)、已知 $\vec{m} = (1, 2, 3, 4, 5), \vec{n} = (1, 1, 1, 1, 1)$ ，求向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 的夹角的余弦值；

(2)、已知4维向量 $\vec{O A} = (1, 2, 3, 0), \vec{O B} = (1, 2, 0, 4), \vec{O C} = (1, 0, 3, 4), \vec{O D} = (0, 2, 3, 4)$ ， $\vec{O P} = a \vec{O A} + b \vec{O B} + c \vec{O C} + d \vec{O D}$ ，且 $6 a + 7 b + 8 c + 9 d = 1$ ，求 $|\vec{O P}|$ 的最小值；

(3)、 $a_{i} \in R (i = 1, 2 \dots, n), \sum_{i = 1}^{n} i a_{i} = 0$ ，求 $\frac{|\sum_{i = 1}^{n} a_{i}|}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}}}$ 的最大值（用含 $n$ 的式子表示）.
（注： $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ）

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17、动点 $M (x, y)$ 到直线 $y = x$ 与直线 $y = - x$ 的距离之积为 $\frac{1}{2}$ ，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、若点 $A (x_{0}, y_{0})$ 为曲线 $E$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x (0 < p \leq \frac{3}{4})$ 的一个公共点，点 $B (4 p, 0)$ .
①求 $x_{0}$ 的取值范围；②当 $y_{0} > 0$ ，且 $y_{0} \neq 1$ 时，求直线 $A B$ 斜率的取值范围.

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18、设函数 $f (x) = 2 x - 1, g (x) = 4 x^{2} - 2 x - 1$ ，数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\} (n \in N^{*})$ 满足： $a_{1} = \sqrt{3}, b_{1} = - 1, a_{n + 1}^{2} = \frac{f (a_{n}) + g (a_{n})}{2}, b_{n + 1} = \frac{g (b_{n}) - {[f (b_{n})]}^{2}}{2}$ .

(1)、若 $a_{n} > 0$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{b_{n} (a_{n}^{2} - 1)\} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1} = 3$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B A_{1}}$ .

(1)、用 $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A A_{1}}$ 表示 $\vec{C D}$ ；

(2)、求直线 $C D$ 与直线 $A C_{1}$ 所成角的余弦值.

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20、已知直线 $l : x - y + 4 = 0$ ，圆 $C : {(x - a)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2$ .

(1)、若直线 $l$ 把圆 $C$ 分成面积相等的两部分，求实数 $a$ 的值；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求实数 $a$ 的值.

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