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相关试卷

1、对于正整数，存在唯一一对整数 $q$ 和 $r$ ，使得 $a = b q + r$ ， $0 \leq r < b$ . 特别地，当 $r = 0$ 时，称 $b$ 能整除 $a$ ，记作 $b | a$ .已知 $A = {1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 23}$ .

(1)、已知存在 $q \in A$ ，使得 $2024 = 91 q + r (0 \leq r < 91)$ ，试求 $q, r$ 的值；

(2)、求证：不存在这样的函数 $f : A \to {1, 2, 3}$ ，使得对任意的整数 $x_{1}, x_{2}$ $\in A$ ，若 $| x_{1} - x_{2} | \in {1, 2, 3}$ ，则 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ ；

(3)、若 $B \subseteq A$ ， $card (B) = 12$ ，（ $card (B)$ 指集合B 中的元素的个数），且存在 $a, b \in B$ ， $b < a$ ， $b | a$ ，则称 $B$ 为“和谐集”. 求最大的 $m \in A$ ，使含 $m$ 的集合 $A$ 的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.

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2、对于定义域为 $D$ 的函数 $y = f (x)$ ，如果存在区间 $[m, n] \subseteq D$ .同时满足：① $f (x)$ 在 $[m, n]$ 内是单调函数；②当定义域是 $[m, n]$ 时， $f (x)$ 的值域也是 $[m, n]$ ，则称 $[m, n]$ 是该函数的“优美区间”.

(1)、求证： $[0$ ， $2]$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ 的一个“优美区间”；

(2)、函数 $g (x) = 4 + \frac{6}{x}$ 是否存在“优美区间”？若存在，求出它的“优美区间”，若不存在，请说明理由.

(3)、已知函数 $h (x) = \frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x} (a \in R, a \neq 0)$ 有“优美区间” $[m, n]$ ，当 $a$ 变化时，求出 $n - m$ 的最大值.

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3、已知指数函数 $f (x) = a^{x}$ 的图象过点 $(1, 2)$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $F (x) = f (x) - f (- x)$ 的奇偶性，并加以证明；

(3)、如果 ${log}_{a} (- x^{2} - 2 b x + 3) \geq 1$ 在区间 $[2 ， 3]$ 上恒成立，求实数 $b$ 的取值范围．

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4、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos 2 x$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最小值和最大值及相应自变量x的值.

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5、化简下列各式：

(1)、 $\frac{\sin (π + α) \sin (2 π - α) \cos (- π - α)}{\sin (3 π + α) \cos (π - α) \cos (\frac{3 π}{2} + α)}$ ；

(2)、 $\sin (- 1320 °) \cos 1110 ° + \cos (- 1020 °) \sin 750 °$ .

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6、已知 $sin (α - \frac{2 π}{3}) = \frac{2}{3}$ ，其中 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，则 $cos (α - \frac{π}{6}) =$ ， $sin (2 α - \frac{π}{3}) =$ .

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7、设函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2^{- x} - 1, x \leq 0 \\ x^{\frac{1}{2}}, x > 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (- 4)) =$ ；若 $f (t) \geq 1$ ，则 $\log_{\frac{1}{2}} (t^{4} + 1)$ 的最大值为.

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8、 $\cos 63^{\circ} \cos 33^{\circ} + \sin 63^{\circ} \sin 33^{\circ} =$ ；

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9、已知函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）的部分图象如图所示，若将函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ 的图象向右平移 $α (α > 0)$ 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 $α$ 的取值可能为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{11 π}{6}$ D、 $\frac{17 π}{12}$

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10、函数 $f (x) = 3 \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $[0, π]$ 上恰有2个零点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{7}{6}, \frac{13}{6}]$ B、 $[\frac{7}{6}, \frac{13}{6})$ C、 $(\frac{5}{6}, \frac{11}{6}]$ D、 $[\frac{5}{6}, \frac{11}{6})$

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11、函数 $y = 3 \sin x$ 的图象上所有点经过合适的变换，得到函数 $y = 3 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象，则这个变换可以为（）

A、横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ $($ 纵坐标不变 $)$ ，再将所得的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ B、横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ $($ 纵坐标不变 $)$ ，再将所得的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ C、横坐标伸长到原来的2倍 $($ 纵坐标不变 $)$ ，再将所得的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ D、横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ $($ 纵坐标不变 $)$ ，再将所得的图象向右平移 $\frac{π}{12}$

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12、函数 $f (x) = \log_{2} (|x| - 1)$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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13、设 $f (x) = 3^{x} + 3 x - 8$ ，用二分法求方程 $3^{x} + 3 x - 8 = 0$ 的近似解的过程中，有 $f (1) < 0$ ， $f (1.25) < 0$ ， $f (1.5) > 0$ ，则该方程的根所在的区间为（）

A、 $(1, 1.25)$ B、 $(1.25, 1.5)$ C、 $(1.5, 2)$ D、不能确定

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14、已知 $\sin α - 2 \cos α = 0$ ，则 $\frac{3 \cos α - 4 \sin α}{\sin α + \cos α} =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{5}{3}$

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15、 $\tan (- \frac{4 π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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16、若角 $α$ 的终边经过点 $(1, - \sqrt{3})$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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17、若 $α = - 150 °$ ，则角 $α$ 的终边在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ， $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ， CD与BE交于点P， $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $\vec{A P} \cdot \vec{B C} = 2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值为；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设 $\vec{A M} = m \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = n \vec{A C}$ （ $m > 0$ ， $n > 0$ ），则 $m + n$ 的最小值为.

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19、在空间直角坐标系Oxyz中，任意平面的方程都能表示成 $A x + B y + C z + D = 0$ （A，B，C， $D \in R$ ，且 $A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0$ ）， $\vec{m} = (A, B, C)$ 为该平面的法向量.设M是多面体的一个顶点，定义多面体在M处的离散曲率为 $Ω_{M} = 1 - \frac{1}{2 π}$ $(∠ N_{1} M N_{2} + ∠ N_{2} M N_{3} + \cdot \cdot \cdot$ $+ ∠ N_{n - 1} M N_{n} + ∠ N_{n} M N_{1}$ ），其中 $N_{i}$ （ $i = 1$ ， 2，3， $\cdot \cdot \cdot$ ， n， $n \geq 3$ ）为多面体的所有与点M相邻的顶点，且平面 $N_{1} M N_{2}$ ， $N_{2} M N_{3}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $N_{n - 1} M N_{n}$ ， $N_{n} M N_{1}$ 遍历多面体的所有以M为公共顶点的面.多面体的离散总曲率为该多面体各顶点的离散曲率之和.已知空间直角坐标系Oxyz中，几何体W的底面在平面Oxy内，且侧面上任意一点 $(x, y, z)$ 满足 $\{\begin{array}{l} 3 |x| + 3 |y| + \sqrt{6} |z| = 3 \sqrt{6}, \\ z \geq 0. \end{array}$

(1)、判断几何体W的形状，并求几何体W的两个相邻侧面所在平面夹角的余弦值；

(2)、求几何体W的离散总曲率；

(3)、定义：若无穷等比数列 ${a_{n}}$ 的公比q满足 $0 < |q| < 1$ ，则 ${a_{n}}$ 的所有项之和 $S = \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n} = \frac{a_{1}}{1 - q}$ .若球 $O_{1}$ 与几何体W的各面均相切，然后依次在W内放入球 $O_{2}$ ，球 $O_{3}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ，球 $O_{n + 1}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ，使得球 $O_{n + 1}$ （ $n \geq 1$ ， $n \in N^{*}$ ）与W的四个侧面相切，且与球 $O_{n}$ 外切，求放入的所有球的表面积之和.

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20、已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过点 $Q (3, 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，当 $A B$ 平行于 $y$ 轴时， $|A B| = 6$ .

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、是否存在不同于点 $Q$ 的定点 $M$ ，使得 $∠ A M Q = ∠ B M Q$ 恒成立？若存在，求点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、若过点 $P (1, 0)$ 的直线 $l^{'}$ 与 $E$ 交于异于 $A$ ， $B$ 的 $C$ ， $D$ 两点，其中点 $A, D$ 在第四象限，直线 $A C$ ，直线 $B D$ 与 $x$ 轴的交点分别为 $G, H$ （ $G$ 与 $H$ 不重合），设线段 $G H$ 的中点为 $N (n, 0)$ ，求实数 $n$ 的取值范围.

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