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相关试卷

1、下列说法正确的有（）

A、若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等差数列，则 $3 a - 2$ 、 $3 b - 2$ 、 $3 c - 2$ 成等差数列 B、若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等差数列，则 $2^{a}$ 、 $2^{b}$ 、 $2^{c}$ 成等比数列 C、若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等比数列，则 $\ln a$ 、 $\ln b$ 、 $\ln c$ 成等差数列 D、若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等比数列，则 $a^{2}$ 、 $b^{2}$ 、 $c^{2}$ 成等比数列

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2、某教学楼从二楼到三楼的楼梯共 $10$ 级，上楼可以一步向上走一级，也可以一步向上走两级，某同学从二楼到三楼准备用 $7$ 步恰好走完，则该同学从二楼到三楼共有（）种不同上法．

A、 $7$ B、 $35$ C、 $70$ D、 $128$

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3、已知直线 $l : a x + b y - r^{2} = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，点 $A (a, b)$ ，则下列说法错误的是（）

A、若点 $A$ 在圆 $C$ 上，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相切 B、若点 $A$ 在圆 $C$ 内，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相离 C、若点 $A$ 在圆 $C$ 外，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相离 D、若点 $A$ 在直线 $l$ 上，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相切

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4、已知函数 $f (x) = a ln \frac{x}{e} - x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有2个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) + a = 0$ 有两个不相等的实数根，记其中一个实数根为 $x_{0}$ ，求证： $(a - 1) x_{0} > a$ .

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} = \frac{n a_{n - 1} + 1}{n + 1}$ ．

(1)、证明数列 $\{(n + 1) a_{n}\}$ 是等差数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{a_{2}}{a_{1}} + \frac{a_{3}}{a_{2}} + \dots \dots + \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < n + \frac{3}{4}$ ．

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2 B C = 2$ ，侧面 $P C D$ 是等边三角形，三棱锥 $A - P B D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点 $E$ 是棱 $C P$ 的中点．

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $B D E$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值．

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7、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ ，正项数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} b_{n} = 2^{11 - a_{n}}$

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项积 $T_{n}$ ．

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8、已知关于 $x$ 的方程 $f (x) - k = 0$ 恰有三个不同的实数根，则当函数 $f (x) = x^{2} e^{x}$ 时，函数 $f (x)$ 的极大值为，实数 $k$ 的取值范围是.

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2^{n}$ ，则 $a_{n} =$ ．

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10、设函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f^{'} (x)$ 为其导函数.当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) - f (x) > 0$ ， $f (1) = 0$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ D、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$

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11、若函数 $f (x) = - x + \frac{9}{x} + a ln x$ 单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, - 6]$ C、 $(- \infty, 6)$ D、 $(- \infty, 6]$

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{9} = S_{10} < S_{11}$ ，则下列不正确的是（）

A、 $a_{10} = 0$ B、 $d > 0$ C、 $S_{8} < S_{9}$ D、 $S_{17} < 0$

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13、已知 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导函数，且 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则 $y = f (x)$ 函数的图象可能是（）
函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象

A、 B、 C、 D、

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14、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$ ，则 $a_{2025}$ 的值为（）

A、2 B、 $- 3$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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15、数列 $\{{(- 1)}^{n} n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2022}$ 等于（）

A、1011 B、 $- 1011$ C、2022 D、 $- 2022$

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16、对任意给定的 $n \in N^{*}$ ，若有穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{m} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k ， m - 1} ， (\forall m \leq n 且 m \in N^{*})$ 其中 $X_{k, i} = \{\begin{cases} 0 ， a_{k} \neq i \\ 1 ， a_{k} = i \end{cases}$ ．则称该数列为“ $D$ 数列”．

(1)、当 $n \in \{1 ， 2\}$ 时，是否存在符合条件的“ $D$ 数列”？若存在，请求出所有的符合条件的“ $D$ 数列”：若不存在，请说明理由：

(2)、证明：（i） $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} = n$ ；
（ii）当 $n \geq 7$ 时，任意符合条件的“ $D$ 数列”都满足 $a_{2} \geq 2$ ；

(3)、当 $n = 20$ 时，求出所有的“ $D$ 数列”．

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17、已知 $a$ 、 $b \in R$ ，函数 $f (x) = x e^{- x} - a e^{x} + b$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = 2 (x + 1)$ ，求 $a + b$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若对 $\forall b \in R$ ，函数 $f (x)$ 至多有两个零点，求 $a$ 的取值范围．

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18、如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $A B = 6$ ， $O$ 为 $A B$ 的中点， $D, E$ 分别为 $A B, A C$ 边上一点，满足 $A D = 1, D E / / O C$ ．将 $△ A D E, △ B O C$ 分别沿着 $D E, O C$ 翻折成 $△ A^{'} D E, △ B^{'} O C$ ，满足 $A^{'}, B^{'}$ 在平面 $C O D E$ 的同一侧， $A^{'} D ⊥$ 面 $C O D E, B^{'} O ⊥$ 面 $C O D E$ ．

(1)、证明： $A^{'}, B^{'}, C, E$ 共面；

(2)、在线段 $B^{'} C$ 上是否存在一点 $F$ （异于端点），满足 $E F / /$ 平面 $A^{'} D O B^{'}$ ？若存在，求出点 $F$ 的位置；若不存在，请说明理由；

(3)、在（2）的情况下，求直线 $C E$ 与平面 $O D F$ 所成角的正弦值．

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19、已知等轴双曲线 $C$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，经过点 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 的渐近线相交于点 $M, N$ ，点 $M$ 的横坐标为 $- 1$ ， $N$ 是线段 $F_{2} M$ 的中点，经过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、当 $△ A B F_{2}$ 的面积为 $\frac{4 \sqrt{10}}{3}$ 时，求 $l$ 的方程．

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20、为了了解高中学生语文与数学成绩之间的联系，从某学校获取了 $400$ 名学生的成绩样本，并将他们的数学和语文成绩整理如表：
单位：人
数学成绩
语文成绩
不优秀
优秀
不优秀
$180$
$90$
优秀
$50$
$80$

(1)、依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与语文成绩有关联？

(2)、以频率估计概率、从全市高中所有数学不优秀的学生中随机抽取5人，设其中恰有 $X$ 位学生的语文成绩优秀，求随机变量 $X$ 的分布列以及数学期望．
$P (χ^{2} \geq k)$
$0.050$
$0.010$
$0.001$
$k$
$3.841$
$6.635$
$10.828$
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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数学成绩	语文成绩
数学成绩	不优秀	优秀
不优秀	$180$	$90$
优秀	$50$	$80$

$P (χ^{2} \geq k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$